MATHEMATIQUES ET PHILOSOPHIE

MATHEMATIQUES ET PHILOSOPHIE

"Notre discussion ne portera pas sur l'existence des êtres mathématiques,mais sur leur mode d'être (ou peri tou einai alla peri tou tropou) ." ( Métaphysique,M,1076 a 36-37)

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Qu'il est nécessaire,si l'on est en quête du statut de la dialectique,de faire préalablement toute leur place aux mathèmata,aux êtres mathématiques,tous les philosophes,de Socrate et Platon à Kant,

ont été contraints de le reconnaître,soit pour y voir un exercice préalable et une sorte de propédeutique,soit, comme Kant, pour distinguer soigneusement leur méthode constructive de

la démarche conceptuelle de la philosophie.Pourtant,dans les deux cas,leur est souvent  reconnu un niveau de validité supérieur à celui de la connaissance simplement empirique et qu'ils

partageraient avec les purs noèta de la philosophie.Aussi la position d'Aristote peut-elle apparaître,par sa finesse toute particulière,originale et intéressante pour le philosophe.

Le chapitre précédent,consacré à le lecture du livre A de la Métaphysique,nous a permis de souligner qu'en tant qu'élève et peut-être encore disciple de Platon,Aristote ne séparait pas la

critique des formes (eidéa,idéa) de l'examen du statut des êtres mathématiques.Or cet examen demeure approfondi dans le livre M,bien que l'indépendance  vis-à-vis de l'Académie semble

désormais acquise.C'est que les idées lui paraissent clairement des fictions poétiques qui ne servent à rien ("quant à dire qu'elles sont des modèles -paradeigmata-et que les autres choses

participent d'elles,c'est parler pour ne rien dire et faire des métaphores poétiques."(M,1079 b,25-27)),tandis qu'il ne met en question ni l'être des mathémata ni leur rôle scientifique.

C'est donc à ce statut bien particulier et à son double aspect,ontologique et épistémologique, que nous allons nous intéresser désormais.

Passant des mathémata aux êtres naturels,Aristote ne modifie pas son attitude.Contrairement à d'autres philosophes connus, pour qui l'existence doit précéder l'essence -pensons par exemple

à Descartes,il trouve ridicule (géloion) de prouver l'existence des êtres naturels ,"car il est manifeste qu'il en existe beaucoup".Mais que faut-il entendre par là ?Des êtres doués de 

matière,par exemple composés de terre,de feu,d'air ou d'eau,c'est-à-dire d'un substrat premier (prôtè hypokeiménè),mais aussi d'une forme.D'une certaine façon,nous sommes moins éloignés

de Socrate et de Platon qu'il n'y paraît ,puisque par 'forme' Aristote entend alors "ce qui,dans l'étant naturel,peut faire l'objet d'une définition".(o.c.193 b 4).Insistons sur le point que non

seulement les termes eidos,idéa,morphè sont équivalents pour l'usage courant de la langue où ils désignent  l'apparaître de l'objet sensible,sa silhouette,son allure,son schéma perceptif,mais

encore  qu' Aristote les emploie souvent en couple comme dans "to eidos kata logon" ou "hè morphè kai to eidos",expressions dont l'apparente redondance est là pour souligner qu'il n'y aura de

coupure que dans l'interprétation ,mais pas dans l'héritage lexical.Or l'interprétation nouvelle consiste à reconnaître à l'être naturel une structure interne et un dynamisme téléologique :la nature

véritable d'un être n'est autre que la forme qu'il revêt du point le plus élevé de son développement et que les grecs nommaient akmè.

Ainsi, l'attitude d'Aristote à l'égard des mathématiques et de la physique se distingue à la fois par la reconnaissance de leurs objets propres et par la séparation de ces objets.Or est malaisé,à partir de

concepts d'origine platonicienne,de reconnaître et d'expliciter la spécificité du vivant.En effet,l'ambition aristotélicienne qui est surtout de constituer une science du vivant,et donc d' êtres

automoteurs, devrait procéder à l'aide de concepts initialement constitués pour élaborer des définitions  limitées et stables.

Il faut donc concilier l'autonomie du vivant et son identité sans disposer des outils techniques adéquats."En un sens ,note Aristote,"on appelle 'physis'le substrat matériel des étants qui disposent

en eux-mêmes d'un principe de mouvement et de transformation (métabolè)"(Physique,II,193 a 28-29).  Il s'agit pour un étant de cette sorte de n'être qu'en changeant ou de ne changer qu'en restant soi-même.

Mais la logique de l'existence de cet étant est à inventer,car, "en un autre sens,c'est la structure et le type conforme à la raison (hè morphè kai to eidos to kata ton logon)."(idem,193 a 30).

Dans l'être vivant,naturel,la raison seule est capable de considérer à part ce qui change (la structure de l'enfant,celle de l'adulte) et ce qui demeure , l'eidos ou genre humain.

Et Aristote de répéter cette formule qui condense le savoir du vivant :une structure et un genre réellement inséparables.(193 b 5-7)

Il faudra donc s'arracher à cette compréhension phénoménologique de l'être naturel,si l'on veut retrouver le 'géométrisme' démiurgique du Timée,qui,bien qu'attaché,lui-aussi,à rendre compte de la

vie et des vivants ,propose ,à la base de sa  recherche, un modèle "constamment identique,car appréhendé par le discours de l'intelligence ( noèsei meta logou)",(Timée, 28 a 1).Seule,sans doute,

la familiarité avec le milieu médical pouvait contrebalancer, chez Aristote, une influence qui réservait la beauté des oeuvres à l'imitation d'un modèle éternel et identique, et représentait la

constitution des solides par un assemblage de figures géométriques telles que triangles équilatéraux,eux-mêmes résultant de l'assemblage de triangles rectangles et donnant naissance a quatre polyèdres réguliers(Timée,31 c-32 c).

Résumant comme suit le travail de modélisation démiurgique, Platon assure :"Ainsi,nous avons fait voir toutes les variétés des corps qui résultent des figures élémentaires,de leurs combinaisons et de

leurs permutations les unes avec les autres.Il faut maintenant nous efforcer de découvrir par quelles causes naissent les impressions que ces corps nous procurent.

En effet,il faut bien toujours d'abord que les corps dont nous avons parlé possèdent le pouvoir de procurer une sensation."(o.c.,61c)

A propos de cet atomisme géométrique,un traducteur et commentateur écrivait naguère :"Ces composants élémentaires sont si petits qu'ils sont invisibles.Peu nombreux,simples, indiscernables,

ils sont indestructibles car il s'agit d'entités mathématiques.Or,dans le monde sensible,tout est fabriqué à partir de ces composants élémentaires:les éléments d'abord,puis la variété des choses

sensibles constituées à partir des quatre éléments.Le recours aux mathématiques permet donc à Platon de proposer une explication d'une extrême économie;le monde des choses dans son

incroyable diversité se réduit,en dernière instance,à deux types de triangles rectangles [i.e. isocèles et scalènes]."(Luc Brisson,Timée /Critias,GF.Flammarion,1992,Introduction,p.44).

 

Lorsque nous réfléchissons sur l'application des mathématiques à la physique,encore devons-nous  disssiper un certain nombre de confusions.Au sens le plus large,nous pouvons entendre par

l'explication de la Physis l'étude du mouvement,la mécanique,mais aussi celle des processus vitaux,anatomie et physiologie,mais aussi l'objet de la chimie,bref,tout ce que Descartes entend

devoir exposer dans la quatrième partie des Principes de la Philosophie intitulée "De la terre".Faut-il y intégrer l'astronomie ?Deux problèmes se posent,d 'une part,celle de la structure

dynamique du cosmos et de la nature" des forces qui s'y exercent,d'autrepart,celui de la composition des astres,après l'unification matérielle de la terre et du ciel. Aussi Descartes englobe-t-il par son

propos :"tout ce qu'il y a de plus général en la physique,à savoir l'explication des premières lois ou des principes de la nature,et la façon dont les cieux,les étoiles fixes,les planètes,les comètes et géné

ralement tout l'univers est composé."(Lettre préface ).Toutefois,si le mouvement planétaire se prête à l'observation ,à la modélisation géométrique et au calcul,la composition physico-chimique des

astres donne l'occasion à Descartes d'exposer une théorie des 'tourbillons'et une composition de la matière dont le mouvement est plus ou moins rapide en fonction de la structure,angulaire ou

arrondie,de ses éléments.Pour expliquer le jugement critique de Voltaire sur la physique cartésienne,roman de la nature,il convient de distinguer les différents apports possibles des

mathématiques à la connaissance des phénomènes.

(A) C'est d'abord l'application à ces derniers "des raisonnements de géométrie qui sont infaillibles",comme Salviati s'efforce de le faire admettre par

Simplicio pendant la première journée  du Dialogue des grands systèmes.Il est d'ailleurs du plus haut intérêt de comparer quelles interprétations font de la méthode mathématique Descartes et

Galilée.Il semble que Descartes s'en tienne à l'ordre axiomatique strict de la démonstration quand il note:"C'est pourquoi je ferai ici une briève description des principaux phénomènes dont je prétends

rechercher les causes;non point afin d'en tirer des raisons qui servent à prouver ce que j'ai à dire ci-après,car j'ai dessein d'expliquer les effets par leurs causes,et non les causes par leurs effets,mais

afin que nous puissions choisir entre une infinité d'effets qui peuvent être déduits des mêmes causes que ceux que nous devons principalement tâcher d'en déduire."(Pricipes,III,4) Comme Descartes

l'indiquait déjà dans le résumé du § 64 de la seconde Partie :"Que je ne reçois point de principes en physique qui ne soient aussi reçus en mathématiques afin de pouvoir prouver par démonstration tout

ce que j'en déduirai,et que ces principes suffisent,d'autant que tous les phénomènes de la nature peuvent être expliqués par leur moyen."

Distinguons la méthode logique (déduction) de son vêtement mathématique (démonstration) et lisons à son tour le résumé que Simplicio,fervent disciple d'Aristote,donne de la démarche de son Maître:

"Aristote se fonde d'abord sur le raisonnement a priori et déduit de principes naturels,clairs et évidents,la nécessité de l'inaltérabilité du ciel,qu'il établit en suite a posteriori par le donné sensible

 et les traditions des anciens".( Galilée,Dialogue des grands systèmes, Hermann,1966,p.155) Si l'on excepte la référence aux "anciens",qui confond science et dialectique,Aristote et Descartes semblent

partager la même démarche axiomatique.Or,Galilée procède,lui, d'une façon opposée qu'il prétend identifier avec la méthode du " véritable Aristote":" ...car je tiens pour certain que,par la voie des

sens,des expériences et des observations,il a d'abord pris soin de s'assurer,autant que possible,de la vérité de sa conclusion,et qu'ensuite il a cherché le moyen de la démontrer.Ainsi procède-t-on le

plus souvent dans les sciences démonstratives,et cela parce que,si la conclusion est vraie,on retrouve aisément ,en employant la méthode résolutive [i.e. par l'analyse ]quelque proposition déjà

démontrée ou on remonte à quelque principe évident.(...)Aussi bien,la certitude de la conclusion n'est-elle pas d'un médiocre secours pour la découverte de la preuve,toujours bien entendu dans les

sciences démonstratives."(o.c.,p.155)

(B)Mais là ne s'arrête pas l'apport des mathématiques à la physique,apport tel que "l'entendement comprend quelques unes des propositions aussi parfaitement et en a une certitude aussi absolue que

la nature elle-même."(idem,p.218).Comme nous l'avons constaté avec le Timée ,la géométrie est non seulement inspiratrice légitime de méthode pour la connaissance de la nature,mais aussi source,plus

discutable,de modèles pour les objets et,particulièrement pour les éléments de la physique ,leurs auteurs construisant ainsi à plaisir un atomisme fantastique.Ainsi semble procèder Descartes,chaque

fois que le domaine à explorer déborde très largement le champ étroit de l'observable,par exemple,lorsque,quittant le sol relativement ferme de la terre,il se lance dans l'exploration du

liquide céleste et,poursuivant la logique propre à cet élément,développe dans les moindres détails géométriquement fondés sa théorie des "tourbillons".

NOTE : "...ils verront clairement toute la suite des déductions que j'ai faites,et combien sont évidents tous les principes dont je me suis servi;principalement s'ils comprennent bien qu'il ne peut

se faire que nous sentions aucun objet sinon par le moyen de quelque mouvement local que cet objet excite en nous,et que les étoiles fixes ne peuvent exciter ainsi aucun mouvement en nos yeux sans

mouvoir aussi en quelque façon toute la matière qui est entre elles et nous.D'où il suit très évidemment que les cieux doivent être fluides,c'est-à-dire composés de petites parties qui se

meuvent séparément les unes des autres,ou du moins qu'il doit y avoir entre eux de telles parties;car tout ce qu'on peut dire que j'ai supposé, et qui se trouve en l'article 46 de la troisième partie,peut être réduit à cela seul que les cieux sont fluides."(IV,§ 206)

DESCARTES : NI DEMOCRITE,NI ARISTOTE

Les ultimes sections des Principes (IV,202-206) donnent à Descartes l'occasion de quitter le plan de la recherche pour celui de l'épistémologie comparée.On notera que ce n'est pas à Epicure qu'il se

compare,pas plus qu'à son sectateur Gassendi,car l'épicurisme reste un sensualisme.A l'opposé,il retient de Démocrite l'exigence d'un rationalisme qui proclame l'existence d'un domaine de réalité

échappant à l'observation et fondant les phénomènes sensibles.Il reproche seulement à l'atomisme démocritéen:1) l'indivisibilité des corpuscules;2)le dogme de l'existence du vide et 3)l'attribution

d'une pesanteur intrinsèque aux atomes,tandis que pour lui,anticipant ainsi la thèse de Newton,la pesanteur "est une qualité qui dépend du mutuel rapport que plusieurs corps ont les uns aux autres."

(§ 202).Pour ce qui est d'Aristote,Descartes soutient que l'application à la nature d'un modèle mathématique n'est pas contraire à l'interprétation aristotélicienne, puisque: "la considération des

figures,des grandeurs et des mouvements a été reçue par Aristote et par tous les autres,aussi bien que par Démocrite. "(idem,202)Aussi réaffirme-t-il,dans la section suivante,les principes de sa

physique,"lesquelles règles sont les principes de la géométrie et des mécaniques."Or,ce principes posés,il est loisible,ainsi qu'il l'a déjà soutenu (partie III,§ 4) "d'expliquer les effets par leurs causes

et non les causes par leurs effets."Cette argumentation permet alors à Descartes de 'réciproquer' le rapport de la partie au tout ou du modèle mathématique à la réalité sensible en soutenant qu' "il est

certain que toutes les règles des mécaniques appartiennent à la physique,en sorte que toutes les choses qui sont artificielles sont avec cela naturelles;car,par exemple,lorsqu'une montre montre les

heures par le moyen des roues dont elle est faite,cela ne lui est pas moins naturel qu'il est à un arbre de produire ses fruits."(ibid.,§ 203)

Descartes,n'est pourtant pas sans ignorer ce qu'on nomme aujourd'hui la table de vérité de la conséquence,et que l'inversion du rapport "modèle/nature" peut produire un  rapport dans lequel ,

une observation vraie pourrait résulter d'une hypothèse fausse.Il n'y a dès lors plus de science au sens strictement déductif,aussi Descartes avance-t-il une concession de nature pragmatique:"Et je

croirai avoir assez fait  si les causes que j'ai expliquées sont telles que tous les effets qu'elles peuvent produire sont telles que tous les effets qu'elles peuvent produire se trouvent semblables à

ceux que nous voyons dans le monde,sans m'informer si c'est par elles ou par d'autres qu'ils sont produits."(ibidem,§ 204)

Le 'pragmatisme' de la démarche apparaît clairement dans la suite:"même je crois qu'il est aussi utile pour la vie de connaître des causes ainsi imaginées que si on avait la connaissance des vraies.(...)

ce que l'on pourra faire tout aussi bien en considérant la suite de quelques causes ainsi imaginées,quoique fausses,que si elles étaient les vraies,puisque cette suite est supposée semblable

en ce qui regarde les effets sensibles."(ibidem,204)

Avec la notion de certitude morale "c'est-à-dire suffisante pour règler les moeurs",Descartes ouvre un espace de recherche qui substitue à la catégorie de nécessité déductive celle de virtualité

effectuable,passant ainsi du plan de la science physique à celui de ses effets techniques supposés "car la médecine,les mécaniques,et généralement tous les arts à quoi la connaissance de la physique

peut servir n'ont pour fin que d'appliquer tellement quelques corps sensibles les uns aux autres,que par la suite des causes naturelles,quelques effets sensibles soient produits."(idem.IV,204)

Mais,puisque,finalement,il en vient à se réclamer sur ce point de la caution d'Aristote et qu''il couronne le tout par l'affirmation de la " souveraine bonté de Dieu source de vérité" (IV,206),

l'oubli ou le mépris dans lequel est souvent tenu le rôle que ,d'après Aristote,les mathématiques peuvent jouer dans la physique,celui-ci mérite sans doute d'être réenvisagé.

RETOUR A ARISTOTE

Pourquoi le détour par Descartes s'imposait -il ? Pour une raison très simple :aucune lecture de la physique aristotélicienne ne saurait s'affranchir de l'arrière-plan constitué par la critique galiléo-

cartésienne ,qui,jusqu'au remplacement du mécanisme cartésien par la dynamique newtonienne, s'est substituée au paradigme adopté par la scolastique.Toute lecture procède d'une dialectique opposant

le nouveau à l'ancien.Pour rendre Aristote à sa vérité et débarrasser sa lecture de la gangue scolastique,il fallait donc paradoxalement  que le cartésianisme soit poursuivi jusqu'à son extrême

limite. Cette double limitation est reconnue par Descartes lui-même sous les formes étrangement contrastées de la pragmatique technique et d'un recours à la théologie.Or si la philosophie

naturelle de Descartes est strictement celle d'un mathématicien, il serait risible d'attendre d'Aristote une interprétation de la vie et du vivant exposée en termes mécanistes.Quelle part celui-ci fait-il

aux mathématiques dans l'ensemble de sa philosophie,et dans quelle direction lui est-il loisible d'étendre ses recherches ?

PHYSIQUE/MATHEMATIQUES

Géométrie et physique ont les mêmes objets ("en effet,appartiennent aux corps physiques les surfaces,solides,grandeurs et points qui sont l'objet des études mathématiques."Physique II,193 b,24.).

Pourtant,si le mathématicien étudie les attributs des corps naturels tels que lune et soleil, "ce n'est pas en tant qu'ils sont les attributs de telles substances.C'est pourquoi il les sépare.(Dio kai chorizei).Ils sont par la pensée(tèi noèsei)

séparables du mouvement."(o.c. 193 b 33-34) Il est clair,par contre,que la mécanique cartésienne a pour objectif de traiter à partir des mêmes principes "figures et mouvement",c'est-à-dire en tant qu'objet du géomètre.

Or le ligne qu'Aristote ne veut ni ne peut franchir,c'est celle du vivant :" la chair,l'os,l'homme :ces choses sont comme le nez camus,non comme le courbe".(idem,194 a 6),car s'il ne réduit pas les choses à leur aspect matériel,il ne saurait

davantage réduire la matière à l'étendue géométrique.La physis ,c'est-à-dire le vivant en général,est animée par une cause irréductible au simple déplacement: la nature est à la fois tendance et ce vers quoi l'on tend  (Hè physis télos

kai ou eneka (194 a 28)..REMARQUE: Cette définition ramassée (le verbe être y est sous-entendu) mais fondamentale distingue sans erreur possible la tendance de son but ;télos,en dépit de sa traduction autorisée et

courante,ne signifie pas le but, mais la tendance qui est rétroactivement impulsée par le but.Toute l'interprétation finaliste de la nature tient en cette distinction.Aristote précise cependant qu'en langue grecque le terme est employé,

comme pour nous, pour exprimer à la fois le terme de l'action et son but,leur coïncidence "étant le meilleur".Observons toutefois que le terme technique d'" entéléchéia",qu'on peut rendre exactement par accomplissement ou par

achèvement ne figure pas dans le texte commenté .Aristote prend soin,à propos d'une interprétation de la nature qui risquerait de prêter le flanc à la critique des matérialistes,de distinguer l'accomplissement d'une action par la technè

de l'entéléchéia naturelle :"Dans les choses artificielles,nous fabriquons (poioumen)la matière en vue de l'oeuvre,tandis que dans les phénomènes naturels elle s'y trouve déjà."(194 b 8)

MATHEMATIQUES/PHILOSOPHIE

Nous nous sommes restreints à étudier les rapports des mathématiques à la physique.Mais leur usage ne pourrait-il pas être étendu bien au-delà ?

Dans les précédentes considérations sur les mathématiques cartésiennes,nous avons distingué,conformément aux vues de l'auteur, deux fonctions principales :les mathématiques sont,d'une part, source de modèles géométriques pour

une représentation calculable de la nature;et ,d'autre part,grâce à leur langue symbolique codifiée ,outil des démonstrations, elles sont un lieu privilégié d'application des règles logiques de la déduction.

Or,dans le corpus encyclopédique constitué par les oeuvres d'Aristote figurent en bonne place,avec un statut scientifique avéré,les Ethiques  et les Politiques.Aussi est-ce à bon droit,bien que leur critère de validité accorde une

place importante à la connaissance factuelle,qu'on peut s'interroger ,à défaut de modèles comparables à ceux de la géométrie,sur les procédés de raisonnement qui interviennent sans nul doute dans l'enchaînement des pratiques,

individuelles ou collectives.Certains de ces procédés mis en oeuvre dans l'analyse des actions relèveraient-ils d'une mathésis au sens large du terme ?

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SUITE : ETHIQUE ET POLITIQUE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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