LOGIQUE ET MATHEMATIQUE

LOGIQUE ET MATHEMATIQUE

"LA PROPOSITION DE LA MATHEMATIQUE N'EXPRIME AUCUNE PENSEE" (TRACTATUS,6.21)

 

Séparer dans un exposé la question de la tautologie de celle des mathém par l'appelatiques est purement artificiel,car la réflexion wittgensteinienne est animée par une double thématique : fonder les mathématiques sur la base d' un symbolisme rigoureux (Peano,Frege,Russell) ,mais aussi et

réciproquement,conférer à la logique des propriétés partiellement communes avec celles de la mathématique, telles que somme et produit (Algèbre logique de Boole.)Or,en raison de commodités techniques, le choix de la communauté des chercheurs  s'accorda avec Whitehead et Russell pour

privilégier la langue formulaire peanienne au détriment de la Begriffsschrift fregéenne,moins compatible avec l'emploi de la langue ordinaire.En effet,l'introduction d'outils nouveaux exige le respect de certaines règles auxquelles Wittgenstein fait assez longuement référence (T. 5.45-5.46).

Ainsi ,en 5.452,il observe,dans un assez long commentaire que  "l'introduction d'un expédient nouveau [eines neuen Behelfes] dans le symbolisme logique est nécessairement un évènement lourd de conséquences.Aucun expédient nouveau ne devrait en logique être introduit,pour ainsi dire avec des

airs innocents,comme parenthèse ou comme note.(C'est ainsi que dans les Principia mathematica de Russell et Whitehead des définitions et des lois fondamentales sont donnés en mots ordinaires  [Wittgenstein écrit seulement:'in Worten'].Pourquoi ce soudain usage de mots ?Ceci appellerait une

justification,qui manque et doit manquer,car cette façon de procéder est en fait inadmissible.) Mais si l'introduction d'un nouvel expédient en un certain endroit se révèle indispensable,on doit aussitôt se demander:où cet expédient doit être maintenant appliqué ?Sa place en logique doit désormais être

expliquée."(tr.Granger,Gallimard,1993,p.81) Et comme exemple pertinent venant aussitôt à l'esprit de Wittgenstein,celui-ci ajoute :"Tout nombre,en logique,doit être justifié. Ou plutôt,il doit ressortir qu'en logique il n'y a pas de nombres."(5.453) Ainsi pouvons nous amorcer notre problème,puisque

Wittgenstein peut soutenir à la fois  que "la mathématique est une méthode logique",que "les propositions de la mathématique sont des équations et par conséquent des pseudo-propositions" et que, cependant , "il n'y a pas de nombre en logique."Rappelons,en effet qu'"il n'y a pas d'objets logiques,de

constantes logiques (au sens de Frege et de Russell)."(5.4) et que les opérateurs tels que négation,somme et produit logiques ne sont ni des fonctions ni des relations.En toute rigueur,il faudrait en conclure que la différence entre logique et mathématique ne porte pas sur la méthode (qui est

démonstrative,dans les deux cas) mais sur le contenu,sur les "objets" de chaque discipline,la logique étant purement formelle tandis que la mathématique,qu'il s'agisse de nombres,de classes,de relations,etc.,en est abondamment pourvue.Reste une difficulté.S'il y a bien des 'objets'

mathématiques,comment peut-on soutenir que "la proposition mathématique ne n'exprime aucune pensée" ?Cette difficulté trouve sa source,chez Wittgenstein ,dans la théorie dépictive de la pensée du Tractatus : "La pensée est l'image logique des faits."(3) ,c'est-à-dire que :" 'Un état de choses

est pensable' signifie:nous pouvons nous en faire une image."(3.001) Il ne faut donc chercher de fonction dépictive ni dans la logique ni dans les mathématiques.Or l'argument fourni par Wittgenstein à l'appui de cette thèse semble parfois assez peu sérieux: ""Dans la vie,ce n'est pas de

propositions mathématiques que nous avons besoin,mais nous en usons pour déduire ,de propositions qui n'appartiennent pas à la mathématique,d'autres propositions qui ne lui appartiennent pas non plus."(6.21).Soutenir la nature tautologique de la pensée mathématique revient ,comme Wittgenstein  le dit parfois ,à la réduire à des équations.

THEORIE DE LA TAUTOLOGIE DANS LE TRACTATUS     

Théorie de la tautologie et théorie du sens ne sont,chez Wittgenstein que l'envers et l'endroit de l'isomorphisme qui règle les rapports entre la logique et le monde.En effet,monde et proposition ont en commun la forme logique,ce qui entraîne que cette forme logique ne peut être exprimée par une

proposition,mais qu'elle se montre dans celle-ci.On reconnaît là le refus déclaré de tout métalangage.Par exemple "Si deux propositions sont contradictoires,leur structure le montre;de même;si l'une est la conséquence de l'autre."(4.1211) Cette forme logique consiste,nous l'avons vu,

dans l'interconnexion des propositions élémentaires opérée au moyen des opérateurs logiques,appelés "lois" logiques par Frege et Russell.Le monde,constitué d'états de choses existants,est donc soumis à un double réseau,celui des connexions possibles (logiques) et celui des rapports

effectifs,représentés par des modèles de diverses sortes.Mais,pour Wittgenstein,seules les connexions logiques expriment de véritables lois, car seules elles sont nécessaires.,ce qui ne correspond pas à la vue traditionnelle du rationalisme épistémologique."L'exploration de la logique signifie l'exploration

de toute capacité d'être soumis à des lois.Et hors de la logique ,tout est hasard."(Tr. 6.3 ) Il n'y a de place dans le Tractatus ni pour une nécessité ontologique de type spinoziste,ni pour une logique transcendantale au sens de Kant.

Ainsi en va-t-il de la 'loi de causalité',qui,pour Wittgenstein,"n'est pas une loi,mais la forme d'une loi" (idem,6.32) .Cela ne signifie pas qu'en sus des lois logiques,l'image du monde ("toute image est aussi image logique .Au contraire,toute image n'est pas spatiale"(2.182)) ne met pas en oeuvre des

procédés de description 'tout à fait généraux'.Il s'agit alors non de lois,mais de 'vues a priori concernant la mise en forme possible des propositions de la science"(6.34) ."Ainsi,que le monde se laisse décrire par la mécanique newtonienne ne dit rien le concernant,mais qu'il se laisse ainsi décrire, comme

c'est justement le cas."La mécanique est un essai pour construire selon un plan unique toutes les propositions vraies dont nous avons besoin pour décrire le monde."(6.342/6.343) ,et bien que le cadre aphoristique du Tractatus réduise au strict minimum les références historiques ,le nom du physicien

Hertz se trouve cité à deux reprises (4.04 et 6.361).Cet auteur d'un ouvrage intitulé Principes de la mécanique (Leipzig,1894) a développé en effet, à la suite de Helmoltz,la théorie de l'image (Bildtheorie) qui constitue la base sémantique de la construction wittgensteinienne et qui est popularisée depuis

les Principes sous le nom de théorie des modèles. Hertz la définit comme un rapport sémiotique entre les relations logiques des images et les relations nomologiques des faits.De même,la notion de même multiplicité (Mannichfaltigkeit) logique entre l'image et son objet ,souvent présente dans les écrits

ou les cours de Wittgenstein,provient -elle directement de Hertz.Il s'agit d'uniformiser la description d'un secteur de l'univers physique par le choix d'un modèle plus ou moins commode :"Cette forme unique est arbitraire,car j'aurais pu utiliser [au lieu de mailles carrées]avec le même succès un réseau aux

mailles triangulaires ou hexagonales.Aux différents réseaux correspondent différents systèmes de description du monde."(Tractatus,6.341,6.342).

Si l'on tâchait de résumer la vision wittgensteinienne  ,on pourrait dire qu' un conventionnalisme épistémologique répond à l'absolutisme logique de son système.Nous entendons par là que le seul a priori que l'auteur reconnaisse est celui des tautologies.Si celles-ci ont une valeur absolue,indépendante


des dispositions du monde perceptif,et sont donc de pseudo-propositions apodictiques ,cela vient de ce qu'elles sont vraies inconditionnellement,mais une vérité sans condition consiste seulement dans le respect de  règles que l'on s'est fixées.Ce sont même les seules lois que l'organisation du monde

ne puisse pas transgresser,de même qu'à l'opposé la contradiction rend impossible toute structuration du monde .Dans les deux cas,cela revient à priver la vérité de son fondement le plus naturel,à savoir l'existence de conditions extrinsèques possibles,c'est-à-dire la possibilité du faux.0r il pourra se trouver

que le simple calcul des tables de vérité fasse apparaître comme n"étant pas une loi logique une formule que nous tenions pour telle.Les erreurs dans le domaine logique sont donc assimilables à des erreurs de calcul,c'est-à-dire à des erreurs d'attention ,du genre de celles que nous pouvons commettre

aux échecs,mais que l'ordinateur ne commettra jamais.Une erreur commise à propos d'une mauvaise hypothèse n'est pas du même ordre qu'une faute de calcul ,sinon de probabilité.C'est en combinant les 'opérateurs de vérité' que sont engendrées des fonctions de vérité nouvelles,indépendamment des

bases empiriques que représentent les propositions élémentaires.Il y a donc une fécondité proprement analytique de la logique. Aussi Wittgenstein ne s'en tient-il pas là,car "à travers tout leur appareil logique,les lois physiques parlent cependant des objets du monde".(6.3431).Et encore:"La logique n'est pas une théorie ,mais une image qui reflète le monde.La logique est transcendantale.(6.13)"

"LA LOGIQUE EST TRANSCENDANTALE"

On s'est interrogé à bon droit sur la nature de cette dernière expression,et cela d'autant que leur auteur récidive à propos de l'éthique et./ou de l'esthétique (6.42,6.421). Deux usages différents de l'expression nous viennent à l'esprit.Cela signifie d'abord  que les concepts formels ne figurent pas

un contenu sensible.Ce ne sont pas des signes de fonctions.Mais ce ne sont pas davantage des signes de relations,comme le sont le temps et l'espace.

Toutefois,on ne doit pas perdre de vue le cadre figuratif hérité de Herz,et donc du kantisme .Non seulement des concepts sans intuition seraient vides,mais ils perdraient tout sens.Telle est l'équivoque indépassable de la logique.C'est elle qui permet de penser,d'articuler le réel,mais sans le

"que"(that) du monde,il n'y aurait pas non plus de "comment"(what).Et donc il convient peut-être d'aller plus loin dans l'interprétation et de soutenir qu'en substituant les opérateurs de la logique formelle aux catégories qui,d'Aristote à Kant,rendaient le monde pensable, Wittgenstein a réalisé l'objectif

philosophique unitaire des efforts dispersés de Boole,Frege et Russell en constituant une nouvelle analytique transcendantale sur la base d'une logique formelle réformée grâce à l'emprunt du symbolisme mathématique.

L'opération monumentale que Kant avait tentée sur la base "de la simple forme de l'entendement",c'est-à-dire "de la fonction de la pensée dans le jugement en général",était de ,constituer une logique transcendantale "dans laquelle on ne ferait pas abstraction de toute relation de celle-ci à l'objet."

(Critique de la raison pure,De la logique transcendantale,tr;fr.Gallimard,1980).Il justifiait ainsi sa dénomination "car elle a affaire seulement aux lois de l'entendement et de la raison, mais uniquement en tant qu'elle se rapporte à des objets à priori"(idem.).Que la logique en tant que telle soit dénommée

"transcendantale"par Wittgenstein en tant qu'elle structure "une image du monde"signifie que sa 'formalité' non seulement ne constitue pas un obstacle à son rapport au monde,mais,tout au contraire,constitue le monde comme monde possible,structuré,ordonné a priori.Si on laisse de côté les formes

attribuées par Kant à l'intuition pure- mais,pour Leibniz,il s'agissait de pures relations -,la forme logique ou conceptuelle est ce qui rend le monde pensable,c'est-à-dire non-contradictoire , sans toutefois lui conférer une quelconque vérité .En effet,"à partir de la seule image,on ne peut reconnaître si elle est vraie ou fausse.Il n'y a pas d'image vraie a priori."(2.224-2.225)

Il serait,intéressant,à ce point de la mise en parallèle,de comparer forme catégorielle et forme logique.Il n'apparaît pas possible,de prime abord,de rapporter les catégories kantiennes aux opérateurs logiques.En effet,les opérateurs,nous l'avons vu, ne sont ni des relations ni des fonctions,

car ils interviennent comme conditions de vérité des propositions complexes sur la base (monadique,dyadique,triadique,etc.)d'un nombre déterminé de propositions élémentaires.Par contre,une lecture comparée du Tractatus et de l'Analytique transcendantale fait apparaître un recours commun ,dans des

contextes pourtant hétérogènes en apparence,à la notion de fonction.Que ce recours soit hérité,dans le cas de Wittgenstein,de la révolution frégéenne par la transposition des fonctions algébriques en fonction de vérité,nous le savons déjà.Aussi l'interprétation kantienne de la catégorie est  d'autant plus

remarquable qu'elle opère à partir de l'Organon d'Aristote et que,comme Kant l'observe,toute révérence gardée, le caractère rapsodique-et variable-des catégories retenues,'l'était indépendamment de leur source.

"Toutes les intuitions en tant que sensibles reposent sur des affections,les concepts,par conséquent sur des fonctions.Or j'entends par fonction l'unité de l'action consistant à ordonner des représentations diverses sous une représentation commune."Cette action consiste dans le jugement,qui est

la connaissance médiate d'un objet,par conséquent la représentation d'une représentation de celui-ci. (...) Tous les jugements sont en ce sens des fonctions  de l'unité parmi nos représentations .(...) Les fonctions de l'entendement peuvent donc être trouvées toutes si l'on peut présenter complètement les fonctions de l'unité intervenant dans les jugements."( C.R.P.,De l'usage logique de l'entendement en général, tr.fr.A.Renaut,GF-Flammarion,2006,pp.155-156)

Vain serait l'effort de critiquer la prétention kantienne à corriger Aristote.Pourtant cette prétention est énorme bien qu'elle paraisse  justifiée ,car "ainsi se dégage-t-il exactement autant de concepts purs de l'entendement ,qui se rapportent a priori aux objets de l'intuition en général,qu'il y avait dans la

précédente table de fonctions logiques de tous les jugements possibles : l'entendement se trouve en effet entièrement épuisé par les fonctions considérées et son pouvoir se trouve par là totalement mesuré."(De la fonction logique de l'entendement dans le jugement (o.c.,pp.162-163)

Si l'opération du magicien réside dans le "passage"des fonctions du jugement à la table des catégories ,c'est-à-dire dans l'établissement de "l'arbre généalogique de l'entendement pur"en quoi,se marque, pour Kant,la supériorité  sur Aristote,une question  simple mérite d'être préalablement

posée.Quelle est la nécessité logique "des quatre titres dont chacun contient en lui trois moments" ? Comment qualifier le subterfuge qui consiste,dans le but de fonder la table des catégories,à dériver cette table d'une table de jugements,dont les quatre titres sont eux-mêmes éminemment

disparates,puisque trois d'entre eux ne sont (déjà) que trois catégories d'Aristote,tandis que le quatrième est un concept scolastique dont Kant lui-même reconnaît qu'il exprime une "fonction tout à fait particulière (des jugements) en ce qu'elle "ne contribue en rien au contenu du jugement"(o.c.,p.159) ?

Sous l' apparence d'une rigueur systématiquement fondée,n'y aurait-il pas la réalité d'un certain éclectisme méthodologique ? "Les cases maintenant existent:il faut simplemnt les remplir".(idem,p.165) ?

Avons-nous là des fonctions logiques ,au sens canonique du terme ?Les propriétés mises en jeu par les fonctions non- numériques concernent soit la structure interne de la proposition,à l'image de la structure sujet-prédicat,soit le quantificateur,soit la différence entre constante et variable.

En effet,le discours doit indiquer par lui-même,commme le soutient l'Etranger du Sophiste (254 b), si son objet est un individu,ou une qualité quelconque commune soit à plusieurs objets,soit à plusieurs autres propriétés.La structure symbolique,à l'opposé de l'usage scolastique qui mettait le sujet en

relief,prépose le signe du concept :f(a),par exemple,"pierre est grand".Cela ne constitue pas seulement un changement d'écriture.On s'est interrogé sur la portée du sujet ou substrat chez Aristote : désigne-t-il l'individu ou l'espèce ?Certes,il n'y a de science que de l'universel,mais la réalité du monde ne

serait saisissable qu'individuellement.Aussi semble-t-il commode d'appréhender le réel -ne serait-ce qu'au niveau de la Gestalt perçue - comme espèce plutôt que comme individu.Le symbolisme doit aussi montrer si l'on considère le concept dans sa totalité ou partiellement.C'est le rôle des

quantificateurs qui ont pour effet d'opérer sur les variables en les liant. Si le concept considéré est celui de couleur,le quantificateur particulier, "il existe quelque couleur non froide",aura pour fonction de resteindre l'usage de ce concept. La logique n'opère pas sur des domaines d'individus,mais sur des

domaines de concepts, qualités ou propriétés.Le logicien allemand Hans Reichenbach précise sur cette liaison de variables ("binding of variables") dûe à la quantification :" Pour l'opération que nous nommons 'liaison de variables',on emploie fréquemment le terme de 'quantification' et celui de

quantificateurs pour en désigner les opérateurs.Nous n'usons pas de ces termes parce que ni l'assertion universelle,ni l'existentielle ne sont des énonciations quantitatives.Elles sont des assertions qualitatives.Il arrive que le terme de généralisation soit employé pour inclure les deux sortes


d'opérations ; il semble toutefois recommandé de réserver ce terme à l'opérateur universel.C'est pourquoi nous suggérons notre expression de 'liaison de variables' qui a l'avantage d'être dérivé de l'expression largement acceptée de 'variables liées' ".( Elements of symbolic logic,Macmillan,New York,1947,p.87,note 1)  

En résumé,et si ,en accord avec Reichenbach,nous appelons relations les fonctions à deux places et plus,on entendra par 'fonction' la possibilité de variation des arguments à l'intérieur (parenthèses) de structures conceptuelles constantes.Cette structure propositionnelle posée ,nous pouvons passer

des fonctions aux fonctions de vérité des propositions élémentaires ce qui suppose l'intervention des opérations telles que négation,addition logique,multiplication logique,etc.,puisque "les fonctions de vérité des propositions élémentaires sont le résultat d'opérations ayant les propositions

élémentaires pour bases." (Tractatus,5.234) . Aussi l'opération "montre comment,d'une forme de proposition ,on parvient à la forme d'autres propositions."(5.24)Rappelons  enfin que la suite des aphorismes 5.24...5.25...marque très fermement la différence et la complémentarité des fonctions 

de vérité et des opérations :"l'occurence de  l'opération ne caractérise nullement le sens de la proposition.L'opération ne dit rien,mais seulement son résultat,et celui-ci dépend des bases de l'opération.(opération et fonction ne doivent pas être confondues.)"(5.25).

___________________________________

LE FORMEL COMME TRANSCENDANTAL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Créer un site gratuit avec e-monsite - Signaler un contenu illicite sur ce site

×