LOGIQUE ET MATHEMATIQUE

"LA PROPOSITION DE LA MATHEMATIQUE N'EXPRIME AUCUNE PENSEE" (TRACTATUS,6.21)

Séparer dans un exposé la question de la tautologie de celle des mathématiques est purement artificiel,car la réflexion wittgensteinienne est animée par une double thématique:fonder les mathématiques par l'appel à un symbolisme rigoureux et original (Peano,Frege),mais aussi et réciproquement,

conférer à la logique une structure partiellement empruntée à la mathématique (Algèbre logique de Boole.)C'est le serpent qui se mord la queue.Mais davantage qu'une difficulté technique qui peut toujours être résolue par la communauté des chercheurs  et qui ,en l'occurence ,conduisit Whitehead et Russell à privilégier pour leur notation

la langue formulaire peanienne au détriment de la Begriffsschrift fregéenne,moins compatible avec l'emploi de la langue ordinaire,l'introduction de concepts nouveaux exige le respect de certaines règles auxquelles Wittgenstein fait assez longuement référence (T. 5.45-5.46) Ainsi ,en 5.452,il observe,dans un assez long commentaire:

 "L'introduction d'un expédient nouveau [eines neuen Behelfes] dans le symbolisme logique est nécessairement un évènement lourd de conséquences.Aucun expédient nouveau ne devrait en logique être introduit,pour ainsi dire avec des airs innocents,comme parenthèse ou comme note.

(C'est ainsi que dans les Principia mathematica de Russell et Whitehead des définitions et des lois fondamentales sont donnés en mots ordinaires  [Wittgenstein écrit seulement:'in Worten'].Pourquoi ce soudain usage de mots ?Ceci appellerait une justification,qui manque et doit manquer,car cette façon de procéder

est en fait inadmissible.) Mais si l'introduction d'un nouvel expédient en un certain endroit se révèle indispensable,on doit aussitôt se demander:où cet expédient doit-il être maintenant appliqué ?Sa place en logique doit désormais être expliquée."(tr.Granger,Gallimard,1993,p.81)

Et comme exemple pertinent venant aussitôt à l'esprit de Wittgenstein,celui-ci ajoute :"Tout nombre,en logique,doit être justifié. Ou plutôt,il doit ressortir qu'en logique il n'y a pas de nombres."(5.453) Ainsi pouvons nous amorcer notre problème,puisque Wittgenstein peut soutenir à la fois  que "la mathématique est une

méthode logique",que "les propositions de la mathématique sont des équations et par conséquent des pseudo-propositions" et que cependant "il n'y a pas de nombre en logique."Rappelons,en effet qu'"il n'y a pas d'objets logiques,de constantes logiques (au sens de frege et de Russell)."(5.4)

et que les opérateurs tels que négation,somme et produit logiques ne sont ni des fonctions ni des relations.En toute rigueur,il faudrait en conclure que la différence entre logique et mathématique ne porte pas sur la méthode (qui est logique)mais sur le contenu,sur les "objets" de chaque discipline,la logique purement formelle en

étant dépourvue tandis que la mathématique,qu'il s'agisse de nombres,de classes,de relations,etc.,en serait abondamment pourvue.Reste une difficulté.S'il y a bien des 'objets' mathématiques,comment peut-on soutenir que "la proposition mathématique ne peut soutenir aucune pensée" ?Or cette difficulté trouve sa

source,chez Wittgenstein ,dans la théorie dépictive de la pensée du Tractatus : "La pensée est l'image logique des faits."(3) ,c'est-à-dire que :" 'Un état de choses est pensable' signifie:nous pouvons nous en faire une image."(3.001) Il ne faut donc chercher de fonction dépictive ni dans la logique ni dans les mathématiques.

Or l'argument fourni par Wittgenstein à l'appui de cette thèse semble bien peu sérieux dans le contexte épstémologique de la thèse soutenue: ""Dans la vie,ce n'est pas de propositions mathématiques que nous avons besoin,mais nous en usons pour déduire ,de propositions qui n'appartiennent pas à la mathématique,d'autres propositions

qui ne lui appartiennent pas non plus."(6.21).La nature tautologique de la pensée mathématique est-elle soutenable ?

THEORIE DE LA TAUTOLOGIE DANS LE TRACTATUS     

Théorie de la tautologie et théorie du sens ne sont,chez Wittgenstein que l'envers et l'endroit de l'isomorphisme qui règle les rapports entre la logique et le monde.En effet,monde et proposition ont en commun la forme logique,ce qui entraîne

que cette forme logique ne peut être exprimée par une proposition,mais qu'elle se montre dans celle-ci.On reconnaît là le refus déclaré de tout métalangage.Par exemple "Si deux propositions sont contradictoires,leur structure le montre;de même;si l'une est la conséquence de l'autre."(4.1211) Cette forme logique consiste,nous l'avons vu,

dans l'interconnexion des propositions élémentaires opérée au moyen des opérateurs logiques,appelés "lois" logiques par Frege et Russell.Le monde,constitué d'états de choses existants,est donc soumis à un double réseau,celui des connexions possibles (logiques) et celui des rapports effectifs,représentés par des modèles de diverses sortes.

Mais,pour Wittgenstein,seules les connexions logiques expriment de véritables lois,ce qui ne correspond pas à la vue traditionnelle du rationalisme épistémologique."L'exploration de la logique signifie l'exploration de toute capacité d'être soumis à des lois.Et hors de la logique ,tout est hasard."(Tr. 6.3 )

Autrement dit,l'épistémologie rationaliste traîte comme des énoncés universels et nécessaires ceux qui,loin de se contenter de décrire l'exprérience,soit reflètent une nécessité reliant les choses mêmes (nécessité ontologique),soit,comme Kant, y voient des énoncés s'imposant a priori au cours des phénomènes (idéalisme transcendantal).

Ainsi en va-t-il de la 'loi de causalité',qui,pour Wittgenstein,"n'est pas une loi,mais la forme d'une loi" (idem,6.32)Cela ne signifie pas qu'en sus des lois logiques,l'image du monde ("toute image est aussi image logique .(Au contraire,toute image n'est pas spatiale)"(2.182) ne met pas en oeuvre des procédés de description 'tout à fait généraux'.

Il s'agit non de lois,mais de 'vues a priori concernant la mise en forme possible des propositions de la science"(6.34) ."Ainsi,que le monde se laisse décrire par la mécanique newtonienne ne dit rien le concernant,mais qu'il se laisse ainsi décrire, comme c'est justement le cas,certes si. (...) 

La mécanique est un essai pour construire selon un plan unique toutes les propositions vraies dont nous avons besoin pour décrire le monde."(6.342/6.343). Le cadre aphoristique du Tractatus réduit au minimum les références historiques du texte.Pourtant,le nom du physicien Hertz se trouve cité à deux reprises (4.04 et 6.361).

Cet auteur d'un ouvrage intitulé Principes de la mécanique (Leipzig,1894) a développé, à la suite de Helmoltz,la théorie de l'image (Bildtheorie) qui constitue la base sémantique de la construction wittgensteinienne et qui est popularisée depuis les Principes sous le nom de théorie des modèles. Hertz la définit comme un rapport sémiotique

entre les relations logiques des images et les relations nomologiques des faits.De même,la notion de même multiplicité (Mannigfaltigkeit) logique entre l'image et son objet ,souvent présente dans les écrits ou les cours,provient directement de Hertz.Il s'agit,dira Wittgenstein,d'uniformiser une description.

"Cette forme unique est arbitraire,car j'aurais pu utiliser [au lieu de mailles carrées]avec le même succès un réseau aux mailles triangulaires ou hexagonales.Aux différents réseaux correspondent différents systèmes de description du monde."

Si l'on tâchait de résumer la vision wittgensteinienne  ,on pourrait dire qu' un conventionnalisme épistémologique répond à l'absolutisme logique de son système.Nous entendons par là que le seul a priori que l'auteur reconnaisse est celui des tautologies.Que celles-ci ont une valeur absolue,indépendante des dispositions du monde perceptif,apodictiques et non assertoriques,

cela vient de ce qu'elles sont vraies inconditionnellement,mais que la vérité sans condition consiste seulement dans le respect de  règles que l'on s'est fixées.Mais dire cela ne serait-il pas ravaler les lois logiques au niveau des conventions d'un modèle? Or n'oublions pas que Russell,aussi bien que Frege ,réserve aux propriétés des opérateurs le qualificatif de "lois".

Ce sont même les seules lois que l'organisation du monde ne puisse pas transgresser,de même que la contradiction rend impossible toute structuration du monde en sorte que la contradiction est le vrai nom du chaos originel. Et pourtant quelque chose reste obscur,puisqu'en apparence,dire qu'une formule logique est vraie en raison de sa seule forme semble priver l'expression

de la vérité de son fondement le plus naturel,à savoir l'existence de conditions extrinsèques possibles,c'est-à-dire la possibilité du faux.0r il peut se trouver que le calcul des tables de vérité fasse apparaître comme n"étant pas une loi logique une formule que nous tenions pour telle.

Les erreurs dans le domaine logique sont donc assimilables à des erreurs de calcul,c'est-à-dire à des erreurs d'attention,du genre de celles que nous pouvons commettre aux échecs,mais que l'ordinateur ne commettra jamais.Aussi une erreur commise à propos d'une mauvaise hypothèse

n'est pas du même ordre qu'une faute de calcul.En effet,c'est en combinant les 'opérateurs de vérité'que sont engendrées des fonctions de vérité nouvelles,indépendamment des bases empiriques que représentent les propositions élémentaires.Il y a donc une fécondité proprement analytique de la logique.

Or Wittgenstein ne s'en tient pas là,car "à travers tout leur appareil logique,les lois physiques parlent cependant des objets du monde".(6.3431).Et encore:"La logique n'est pas une théorie ,mais une image qui reflète le monde.La logique est transcendantale.(6.13)"

On s'est interrogé à bon droit sur la nature de cette dernière expression,et cela d'autant que leur auteur récidive à propos de l'éthique et./ou de l'esthétique (6.42,6.421). Deux usages différents de l'expression nous viennent à l'esprit.Cela signifie d'abord  que les concepts formels ne figurent pas un contenu sensible.Ce ne sont pas des signes de fonctions.Mais ce ne sont pas davantage des signes de relations,comme le sont le temps et l'espace.

Toutefois,on ne doit pas perdre de vue le cadre figuratif hérité de Herz,et donc du kantisme .Non seulement des concepts sans intuition seraient vides,mais ils perdraient tout sens.Telle est l'équivoque indépassable de la logique.C'est elle qui permet de penser,d'articuler le réel,mais sans le "que" du monde,il n'y aurait pas non plus de "comment".

Et donc il convient d'aller plus loin dans l'interprétation et de soutenir qu'en substituant les opérateurs de la logique formelle aux catégories qui,d'Aristote à Kant,rendaient le monde pensable, Wittgenstein a tiré le sens philosophique unitaire des efforts dispersés de Boole,Frege et Russell en constituant une nouvelle analytique transcendantale sur la base d'une logique formelle réformée grâce à l'emprunt du symbolisme mathématique.

L'opération monumentale que Kant avait tentée sur la base "de la simple forme de l'entendement",c'est-à-dire "de la fonction de la pensée dans le jugement en général",était de ,constituer une logique transcendantale "dans laquelle on ne ferait pas abstraction de toute relation de celle-ci à l'objet."(Critique de la raison pure,De la logique transcendantale,tr;fr.Gallimard,1980)

Il justifiait ainsi sa dénomination "car elle a affaire seulement aux lois de l'entendement et de la raison, mais uniquement en tant qu'elle se rapporte à des objets à priori"(idem.)Que la logique en tant que telle soit dénommée "transcendantale"par Wittgenstein en tant qu'elle est"une image du monde"

signifie que son 'formalisme' (ou plutôt sa formalité) non seulement ne constitue pas un obstacle à son rapport au monde,mais,tout au contraire,constitue le monde comme monde possible,structuré,ordonné a priori.Si on laisse de côté les formes attribuées par Kant à l'intuition pure,la forme

logique ou conceptuelle est ce qui rend le monde pensable sans toutefois lui conférer une quelconque vérité ,à condition de ne pas recéler de contradiction.En effet,"à partir de la seule image,on ne peut reconnaître si elle est vraie ou fausse.Il n'y a pas d'image vraie a priori."(2.224-2.225)

Il serait,intéressant,à ce point de la mise en parallèle,de comparer forme catégorielle et forme logique.Il n'apparaît pas possible,de prime abord,de rapporter les catégories kantiennes aux  opérateurs logiques.En effet,les opérateurs,nous l'avons vu ne sont ni des relations ni des fonctions,

car ils interviennent comme conditions de vérité des propositions complexes sur la base (monadique,dyadique,triadique,etc.)d'un nombre déterminé de propositions élémentaires.Par contre,une lecture comparée du Tractatus et de l'Analytique transcendantale fait apparaître le recours commun ,dans des contextes pourtant hétérogènes en apparence,

à la notion de fonction.Que ce recours soit hérité,dans le cas de Wittgenstein,de la révolution frégéenne par la transposition des fonctions algébriques en fonction de vérité,nous le savons déjà.Aussi l'interprétation kantienne de la catégorie est  d'autant plus remarquable qu'il opère à partir de

l'Organon d'Aristote et que,comme il l'observe,toute révérence gardée, le caractère rapsodique-et variable-des catégories retenues,'l'était indépendamment de leur source.

"Toutes les intuitions en tant que sensibles reposent sur des affections,les concepts,par conséquent sur des fonctions.Or j'entends par fonction l'unité de l'action consistant à ordonner des représentations diverses sous une représentation commune."Cette action consiste dans le jugement,qui est

la connaissance médiate d'un objet,par conséquent la représentation d'une représentation de celui-ci. (...) Tous les jugements sont en ce sens des fonctions  de l'unité parmi nos représentations .(...) Les fonctions de l'entendement peuvent donc être trouvées toutes si l'on peut présenter complètement

les fonctions de l'unité intervenant dans les jugements."( C.R.P.,De l'usage logique de l'entendement en général, tr.fr.A.Renaut,GF-Flammarion,2006,pp.155-156)

Vain serait l'effort de critiquer la prétention kantienne à corriger Aristote.Pourtant cette prétention est énorme bien qu'elle paraisse  justifiée ,car "ainsi se dégage-t-il exactement autant de concepts purs de l'entendement ,qui se rapportent a priori aux objets de l'intuition en général,

qu'il y avait dans la précédente table de fonctions logiques de tous les jugements possibles : l'entendement se trouve en effet entièrement épuisé par les fonctions considérées et son pouvoir se trouve par là totalement mesuré."(De la fonction logique de l'entendement dans le jugement (o.c.,pp.162-163)

Si l'opération du magicien réside dans le "passage"des fonctions du jugement à la table des catégories ,c'est-à-dire dans l'établissement de "l'arbre généalogique de l'entendement pur"en quoi,se marque, pour Kant,la supériorité  sur Aristote,une question  simple mérite d'être

posée préalablement.Quelle est la nécessité logique "des quatre titres dont chacun contient en lui trois moments" ? Comment qualifier le subterfuge qui consiste,dans le but de fonder la table des catégories,à dériver cette table d'une table de jugements,dont les quatre titres

sont eux-mêmes éminemment disparates,puisque trois d'entre eux ne sont (déjà) que trois catégories d'Aristote,tandis que le quatrième est un concept scolastique dont Kant lui-même reconnaît qu'il exprime une "fonction tout à fait particulière (des jugements) en ce qu'elle "ne contribue en rien au contenu du jugement"(o.c.,p.159) ?

Sous l' apparence d'une rigueur systématiquement fondée,n'y aurait-il pas la réalité d'un éclectisme méthodologique cyniquement avoué ::"Les cases maintenant existent:il faut simplemnt les remplir".(idem,p.165) ?Mauvaise polémique,rétorquera-t-on.Voire ! Examinons le difficulté de plus près en nous limitant à la table des jugements relativement à cette question :

Avons-nous là des fonctions logiques ,au sens canonique du terme ?Les propriétés mises en jeu par les fonctions non numériques concernent soit la structure interne de la proposition,à l'image de la structure sujet-prédicat,soit le quantificateur,soit la différence entre constante et variable.

En effet,le discours doit indiquer par lui-même si son objet est un individu,soit une qualité quelconque commune soit à plusieurs objets,soit à plusieurs autres propriétés.La structure symbolique,à l'opposé de l'usage scolastique qui,suivant Aristote,mettait le sujet en relief,prépose le signe du concept :f(a),par exemple,"pierre est grand".

Cela ne constitue pas seulement un changement d'écriture.On s'est interrogé sur la portée du sujet ou substrat chez Aristote :désigne-t-il l'individu ou l'espèce ?Certes,il n'y a de science que de l'universel,mais la réalité du monde ne seait saisissable qu'individuellement.Aussi semble-t-il commode d'appréhender le réel -ne serait-ce qu'au niveau de la Gestalt perçue -

comme espèce plutôt que comme individu.Le symbolisme doit aussi montrer si l'on considère le concept dans sa totalité ou partiellement.C'est le rôle des quantificateurs,et il a donc pour effet d'opérer sur les variables en les liant. Si le concept considéré est celui de couleur,le quantificateur particulier "il existe quelque couleur non froide",

aura pour fonction des resteindre l'usage de ce concept.N'oublions pas que la logique n'opère pas sur des domaines d'individus,mais sur des domaines de concepts, qualités ou propriétés.Le logicien allemand Hans Reichenbach précise sur cette liaison de variables ("binding of variables") due à la quantification :

" Pour l'opération que nous nommons 'liaison de variables',on emploie fréquemment le terme de 'quantification' et celui de quantificateurs pour en désigner les opérateurs.Nous n'usons pas de ces termes parce que ni l'assertion universelle,ni l'existentielle ne sont des énonciations quantitatives.Elles sont des assertions qualitatives.Il arrive que

le terme de généralisation soit employé pour inclure les deux sortes d'opérations;il semble toutefois recommandé de réserver ce terme à l'opérateur universel.C'est pourquoi nous suggérons notre expression de 'liaison de variables' qui a l'avantage d'être dérivé de l'expression largement acceptée de 'variables liées' ".(Elements of symbolic logic,Macmillan,New York,1947,p.87,note 1)  

Complétons ce très bref exposé en ajoutant que dans la structure symbolique de la fonction logique 'f(a)' ou 'g(x),le signe entre parenthèses de la constante ou de la variable est nommé 'argument' de la fonction.Ainsi, "argument et propriété déterminent ,par leur combinaison,une situation.(...)Quand l'argument varie tandis que la fonction

demeure constante ,nous obtenons un ensemble de différentes situations.C'est cette variation de la situation exprimée par celle de l'argument qui constitue la racine du nom 'fonction',par analogie aux fonctions mathématiques.Mais tandis que celles-ci présentent ordinairement une variation continue

avec l'argument,avec les fonctions logiques nous n'avons pas une telle continuité.C'est pourquoi l'emploi du terme 'fonction' s'entend en un sens quelque peu élargi.."(o.c p.81) En résumé,et si ,en accord avec Reichenbach,nous appelons relations les fonctions à deux places et plus,

on entendra par 'fonction' la possibilité de variation des arguments à l'intérieur (parenthèses)de structures conceptuelles constantes.Cette structure propositionnelle posée ,nous pouvons passer des fonctions aux fonctions de vérité des propositions élémentaires ce qui suppose l'intervention des opérations telles que négation,addition logique,multiplication logique,etc.,

puisque "les fonctions de vérité des propositions élémentaires sont le résultat d'opérations ayant les propositions élémentaires pour bases." (Tractatus,5.234) . Aussi l'opération "montre comment,d'une forme de proposition ,on parvient à la forme d'autres propositions."(5.24)

Rappelons que la suite des aphorismes 5.24...5.25...marquent très fermement la différence et la complémentarité des fonctions de vérité et des opérations (en particulier :"l'occurence de  l'opération ne caractérise nullement le sens de la proposition.L'opération ne dit rien,mais seulement son résultat,

et celui-ci dépend des bases de l'opération.(opération et fonction ne doivent pas être confondues.)"(5.25).

 SUITE: LE FORMEL COMME TRANSCENDANTAL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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