FREGE ET BOOLE SUR LA FORME LOGIQUE

(x)

FREGE / FORME ET FONCTION

Une fois la distinction entre sens et dénotation posée,Frege introduit en logique le couple "fonction /argument",transposé de l'écriture algébrique.C'est ce double niveau de l'analyse

qui rend possible un renouvellement de l'étude propositionnelle et de la pensée.Pour saisir la différence entre fonction et argument,il suffit de partir d'une formule algébrique telle que

"2x(3) + x",proposée par l'auteur à la page 84 de l'ouvrage déjà cité (Gottlob Frege,Ecrits logiques et philosophiques, Editions du Seuil,1971)où l'inconnue x représente l'argument.

"D'où il appert que l'essence propre de la fonction réside dans ce qui demeure de cette formule quand on a supprimé la lettre 'x' ,ce que l'on pourrait écrire ainsi : "2.(  )(3)+ ( )".

[N.B. Les parenthèses introduites pour faire apparaître la structure fonctionnelle ne remplissent, bien sûr,pas le même rôle que celles de la puissance cubique de x.]Frege poursuit:

"Mon propos est de montrer que l'argument n'appartient pas à la fonction mais que fonction et argument,pris ensemble ,constituent un tout complet.De la fonction,prise séparément,

on dira qu'elle est incomplète,ayant besoin d'autre chose,ou encore insaturée (ist unvollständig,ergänzungsbedürftig oder ungesättigt - Funktion,Begriff,Bedeutung, Vandenhoeck und 

Ruprecht in Göttingen,1966,p.21  -  ).(...)Ce que l'on obtient en complétant la fonction par l'argument est appelé valeur de la fonction pour l'argument."      

DE LA FONCTION A LA CLASSE

 On peut saisir comment, à partir de la transposition effectuée de la mathématique à la logique ,ce qui représentait la (ou les) valeur(s) numérique(s) obtenue(s) pour une égalité devient alors

une valeur de vérité (ein Wahrheitswert).Et l'interprétation traditionnelle de la propriété nommée extension du concept (der Umfang des Begriffes) - nous ne parlons pas de sa

compréhension,puisqu'il ne s'agirait plus alors de la dénotation de la proposition mais de son sens - pourra être ,à son tour, transposée.En effet,"on peut caractériser le parcours des valeurs

(der Wertverlauf) d'une fonction dont la valeur pour tout argument est une vérité comme étant l'extension d'un concept."(o.c.,p.90)

 Quelques éléments de l'Idéographie (Begriffsschrift,1879) sont exposés dans un article de 1882,lui-même repris par Madame Imbert dans le recueil des Ecrits logiques et philosophiques,

(Le Seuil,1971,pp.70-79),ainsi que partiellement utilisés dans la conférence intitulée Fonction et concept ( 1891;Imbert,pp.95-100).Mais l'extension d'un concept ainsi que la différence entre

concept et objet jouent déjà un rôle important,sinon fondateur,dès Les fondements de l'arithmétique (Grundlagen der Arithmetik,I884).

"Rien ne nous empêche d'employer le concept 'racine carrée de -14.Mais nous n'avons pas pour autant le droit de lui préposer l'article défini,ni de tenir l'expression :"la racine carrée de

-1' pour une expression pourvue de sens.(...)Attribuer un nombre,c'est énoncer une détermination objective d'un concept.(...)Le nombre se présente comme un objet reconnaissable,même

s'il n'a aucune réalité physique ou spatiale,ni telle que l'imagination puisse s'en faire une image.(...)"(Fondements, Le Seuil,Imbert,1969,Conclusion,p.226) Une note du § 66  précise

la différence entre concept et objet."Un concept est pour moi prédicat possible d'un contenu de jugement singulier;un objet est sujet possible d'un tel contenu de jugement.Soit la

proposition :"La direction de l'axe du télescope est identique à la direction  de l'axe dde l'axe de la terree l'axe de la terre." Si nous disons que la direction du télescope est sujet,

le prédicat est :"identique à la direction de l'axe de la terre."C'est un concept.Mais la direction de l'axe de la terre n'est qu'une partie du prédicat;c'est un objet.On peut tourner la proposition

de manière qu'il en soit sujet."(p.192,note 1)

 Répétons que la logique de Frege traite le concept en extension .Frege explique que cette précision est nécessaire si l'on soutient que "chaque nombre est un objet".Par ailleurs,ajoute-t-

il,"des concepts peuvent avoir la même extension sans coïncider"(o.c.,p.194,note 1) D'où la définition de l'appartenance à un concept "Le nombre qui appartient au concept F est

l'extension du concept :'équinumérique au concept F'.(...)En bref,je dirai que le concept F est équinumérique au concept G si nous sommes en possesion d'une telle correspon dance."

(idem,p.194).

 BOOLE :DE LA CLASSE A LA FONCTION

 Si nos recherches sur l'analyse ont conduit à une constellation de quatre concepts,elle-même constituée de deux couples,sens et dénotation,fonction et argument,c'est que la réflexion

frégéenne était en quelque sorte hantée par la proximité de son travail sur les mathématiques.Cela concerne très précisément la décennie qui clôt le XIXe siècle finissant.Frege est alors

convaincu qu'il a triomphé des difficultés nommées par Leibniz et affrontées par Boole dans cet ouvrage majeur qu'est An investigation of the laws of thought,paru un demi-siècle avant sa

Begriffsschrift.

.

Boole présentait alors son oeuvre comme suit:"Le propos est d'exprimer dans ce traité les lois fondamentales du raisonnement dans le langage symbolique d'un Calcul.Il 

suffira de dire ,pour commencer,que ces lois sont telles qu'elles suggèrent ce mode d'expression et qu'elles sont particulièrement et (même)exclusivement appropriées à nos fins

Non seulement il y a une étroite analogie entre les opérations de l'esprit dans le raisonnement général et ses opérations dans la science particulière qu'est l'Algèbre,mais il existe,dans une

considérable mesure,un accord entre les lois qui régissent l'une et l'autre classe d'opérations.Bien sûr ,les lois doivent être déterminées indépendamment dans chaque cas;un  quelconque

accord formel entre elles ne peut être établi qu'a posteriori par une comparaison effective.Emprunter la notation de la science du Nombre,et soutenir ensuite que dans sa nouvelle application

les lois qui gouvernent son emploi demeureront inchangées,serait pure hypothèse.Il existe,cependant,certains principes généraux fondés sur le nature même du langage,par lesquels

l'emploi de symboles,qui ne sont que les éléments du langage scientifique,est déterminé.Dans une certaine mesure ces éléments  sont arbitraires.Leur interprétation est purement

conventionnelle:nous sommes autorisés d'en user à notre convenance.Mais cette permission est limitée par deux conditions indispensables- premièrement que le sens [d'un symbole]

une fois posé par convention,nous ne nous en écartions jamais dans le même cours [process] de raisonnement; deuxièmement,que les lois régissant ce cours soient fondées

exclusivement sur la signification initiale des symboles employés. Conformément à ces principes ,un quelconque accord susceptible d' être établi entre les Lois des symboles de la Logique

et ceux de l'Algèbre peut seulement découler d'un accord entre les processus.Les deux domaines d'interprétation demeurent séparés et indépendants,chacun étant soumis à ses

propres lois et conditions."(Geoge Boole,An investigation of the laws of thought,chap I; Dover Publications,p.6  [traduit de l'anglais par moi,Chr.]


Replaçons brièvement la démarche booléenne dans son contexte épistémologique.Celui-ci est,on s'en doute,assez différent de celui de Frege,Russell et Wittgenstein.,car son objet est la

perfectionnement de la syllogistique aristotélicienne,qu'il nomme " processes of raisonning".

De manière assez traditionnelle,il y a pour lui deux modes de raisonnement:inductif et déductif,celui-là procédant par inférences seulement probables,tandis que la déduction,bien qu'elle

parte souvent "d'une vérité générale saisie dans la claire appréhension d'un seul exemple particulier"(An investigation,chapitre 1,Dover,p.4) ne se contente pas de saisir des vérités

générales,mais procède à partir d'un petit nombre d'axiomes.Il faut donc distinguer vérité fondamentale et vérité générale.

Aussi n'est-ce pas dans ce cadre épistémologique que réside l'intérêt du projet booléen.Il consiste dans la thèse suivant laquelle la démarche logique mise en oeuvre dans le raisonnement

déductif repose des opérations intellectuelles "non seulement analogues aux opérations de l'Algèbre, mais en exact accord avec elles."(o.c.,I,p.6) C'est cet aspect du projet que l'on pourrait

qualifier de leibnizien ,puisqu'il associe étroitement langue symbolique et calcul (lingua characteristica et calculus ratiocinator).

Boole,dans l'exposé de sa théorie,précise donc que les divers symboles de la logique,qu'il s'agisse de signes de choses,d'opérations ou du signe d'identité (=), "sont soumis dans leur

emploi à des lois définies,s'accordant , pour une part, aux lois des symboles correspondants de l'Algèbre et en différant,pour une autre part."-Si,par exemple,nous pouvons

qualifier la disjonction inclusive "ou" ("la doctrine chrétienne est redevable à Pierre ou à Paul,souvent aux deux à la fois) de "somme logique" et la conjonction "et" de

produit logique,l'analogie entre logique et algèbre bute toutefois sur des limites,et cela dans les deux sens.L'expression d'Algèbre de la Logique ne peut donc être appliquée sans précaution.

Il n'en demeure pas moins que des lois algébriques telles que la commutativité et la distributivité jouent aussi pour les opérateurs logiques.Ainsi"l'expression 'hommes et femmes' est

équivalent à l'expression 'femmes et hommes' (commutativité de la disjonction et de la conjonction: x+y= y+x ;xy =yx);ou encore 'hommes et femmes européens' équivaut à "hommes

européens et femmes européennes" (distributivité: :z(x+y)=zx+zy )" (An investigation,Chap.II,Dover,p.33)   

Boole résume comme suit le fondement de l'analogie entre Logique et Algèbre."Primo, les opérations de l'esprit par lesquelles il combine et modifie les idées simples des objets ou

de leurs qualités,ne sont pas moins soumises à des lois générales que les opérations de la raison qui s'exercent sur des vérités et des propositions.Secundo,Ces lois sont de forme

mathématique et elles sont effectivement développées dans les lois essentielles du langage humain.C'est pourquoi les lois des symboles de la Logique sont déductibles d'une considération

des lois de l'esprit dans le raisonnement."(An investigation of the laws of thought, chapitre III,§ 11;Dover,p.45/46).

Le chapitre II de l'ouvrage expose ce que Leibniz entendait par "Charactéristique" et,d'autres,plus proches de nous,sémiotique,ou science des signes.Nous nous en tiendrons à la définition

initiale: "A sign is an arbitrary mark,having a fixed interprétation,and susceptible of combination with other signs in subjection to fixed laws dependent upon their mutual interpretation."

(Dover,p.25) L'exposition de la théorie commence par la répartition des signes en trois catégories ou classes: -signes de choses conçues;signes d'opérations telles que + , - ,x;le signe

d'identité =.

La classe I concerne l'appellation de choses,de qualités ou de circonstances.La classe II se réfère aux signes des opérations mentales au moyen desquelles nous réunissons des parties en

un tout,ou  divisons un tout en ses parties.Enfin,la classe III exprime des relations ,et,parmi celles-ci, les propositions.(Dover,p.27- 38)

Le traité proprement dit ('Algèbre de la logique' qui donnera naissance ultérieurement à 'l'Algèbre de Boole') commence avec le chapitre trois,mais sa proposition I est simplement introductive:

:"Déduire les lois des symboles de la Logique d'une considérations des opérations mentales [of the mind]   présupposées par le strict emploi du langage comme outil de raisonnement."

On comprend,que,comme ce sera aussi le cas pour Frege,il n'est pas question d'introduire ici sous le couvert du terme équivoque d' 'opérations mentales' une base psychologique de la

logique.Nous rejoignons déjà l'intitulé de notre chapitre :'Pensée et représentation'.Il s'agit bien ici de la mise en oeuvre d'un calcul et donc de pensée,non d'états de conscience ou de

représentations.Cela apparait clairement avec le proposition II :"déterminer la valeur et la signification logiques des symboles 0 et 1".Cette détermination est donnée par les égalités

suivantes:"0xY=0,ou 0y=0"; "1 x y = y,ou 1y=y".Rappelons que ,pour Frege, la proposition (la pensée) dénote le vrai et le faux.Mais nous pouvons déjà marquer une différence entre les

auteurs.

Si la logique fregéenne est d'emblée propositionnelle -comme le sera celle dont traite Wittgenstein -,ce n'est pas le cas de l'Algèbre logique ,qui est d'abord une logique des classes.

Aussi Boole se croit-il obligé de fournir une explication de la plus haute importance."Un peu d'attention montrera ici que la classe représentée par 1 doit être 'l'Univers',puisqu'elle est l'unique

classe qui comprend tous les individus existant dans une classe quelconque.Par suite,les interprétations respectives de 0 et de 1 dans le système de logique sont Rien et l' Univers.En

même temps que l'idée d'une classe quelconque d'objets comme 'hommes',vient à l'esprit l'idée de la classe contraire des êtres qui ne sont pas des hommes". D'où la Proposition III:"

Si x représente une quelconque classe d'objets, 1- x représentera le contraire ou le complémentaire [the supplementary class] de ces objets,c'est-à-dire la classe incluant tous les objets

n'appartenant pas [non included] à la classe x".(o.c.,Dover,p 48)           

[Remarque. Nous avons 'adapté' la traduction du texte de Boole,tout en citant celui-ci entre crochets,au vocabulaire courant qui dit ' complémentaire ',au lieu de de 'supplémentaire',et

'appartient à' au lieu de 'est inclus dans',quand il s'agit du rapport 'élément/classe'.]

Nous achèverons cette partie de l'exposé en donnant la formule algébrique par laquelle Boole rend compte du principe qu'Aristote qualifie,dans Métaphysique Γ,3, de "plus assuré de tous"

( πασων εστι βεβαιοτατη των αρχων). "Proposition IV - Cet axiome des métaphysiciens ,nommé principe de contradiction,qui affirme l'impossibilité,pour quelque être que ce soit,de posséder

une qualité et,en même temps,de ne la point posséder,est une conséquence de la loi fondamentale de la pensée qui s'exprime par x2=x.".Boole l'écrit au moyen des équations :

x-x2 = 0,d'où :x(1-x) = 0;

 Revenons pour le besoin de la compréhension quelques pages en arrière.Au chapitre II de son livre (Dover,pp. 31 et 37)Boole a mis en relief certaines lois de la pensée qui diffèrent

sensiblement des lois mathématiques,par exemple,celle-ci : xx=x,pour la raison que,en pure logique, "si deux symboles ont exactement la même signification,leur combinaison n'exprime

pas plus que ne le ferait un seul d'entre eux."D'où l'égalité x2 = x, incorrecte s'il s'agit non de significations,mais de quantités.

Si donc x2 = x, x - x2 = 0 et la mise en facteur de x donne x(1-x)=0,x et 1- x symbolisant des classes 'contraires ou complémentaires ('supplementaries')." D'où,résume Boole, x(1- x)

représentera la classe dont les membres sont à la fois (at once) 'hommes' et 'non-hommes' et l'équation x(1-x)=0 exprime ainsi le principe qu'une classe dont les membres sont en même

temps hommes et non hommes n'existe pas."('Dover,p.49)

Nous pourrions supposer qu'une pure loi formelle telle que celle-là,exprimée algébriquement,pourrait manifester une supériorité évidente sur sa formulation aristotélicienne,liée à la

condition du temps (" αμα ",simultanément),condition sensible ,même s'il s'agit de sensibilité pure,déjà dénoncée par Kant.Selon toute apparence,l'insistance mise par Boole

à faire strictement coïncider son commentaire avec le texte de Métaphysique Γ cité en note (Dover,p.49,astérisque) peut suggérer comme nous l'avons proposé liminairement, la

difficulté éprouvée par Boole à rompre radicalement avec la scolastique,ce préjugé risquant d'être conforté par un calcul des classes davantage relié aux objets du monde et à leurs

conditions,même formelles,que celui des propositions.Aussi la vraie rupture devait-elle faire retour à la logique propositionnelle instituée par les stoïciens,et particulièrement par

Chrysippe,et peut-elle trouver son expression philosophique la plus marquante avec les aphorismes de Wittgenstein :" I.I Die W elt ist die Gesamtheit der Tatsachen,nicht der Dinge.

I.2 Die Welt zerfällt in Tatsachen."

 On aurait cependant tort de croire,sous le prétexte que Boole consacre ,dans le chapitre XV de An Investigation ,une étude de La logique aristotélicienne et de son extension moderne,

qu'il ne s'agit là,précisément, que d'une simple "extension", de la syllogistique simplement revêtue d'habits mathématiques,la symbolique algébrique servant de support à un calcul de

classes en partie dénumérisé.

Si le chapitre V du livre expose bien les "Principes fondamentaux du raisonnement",et si le développement de ces lois par la logique symbolique (symboles de classes,d'opérations telles

que somme et produit logiques,symboles quantitatifs réservés aux valeurs 0 et 1,symbole d'égalité ) ne constitue qu'une mise en forme,une médiation opératoire qu'il conviendra finalement

de réinterpréter dans ses termes conceptuels initiaux (" Nous pouvons en fait mettre de côté (lay aside) l'interprétation logique des symboles dans l'équation donnée;convertir ceux-ci

en symboles quantitatifs,seulement réduits aux valeurs 0 et 1;opérer avec eux comme le requiert le développement de la solution;et finalement revenir à leur interprétation logique."

(o.c.,chap.V,Dover ,p.70),cette mise en forme algébrique jette néanmoins les bases,avant Frege mais aussi avant Russell et Wittgenstein,d'une écriture fonctionnelle des phrases en

logique.

 En effet,Boole pose avec la définition du § 8- "Une expression algébrique comprenant un symbole x est nommée 'fonction de x,et peut être représentée par la forme générale abrégée f(x)."

 Sous cette forme f(x), on pourra écrire indifféremment :x,1-x,1+x/1-x,etc. La définition du § 9 ajoute : "Toute fonction f(x) dans laquelle x est un symbole logique,ou un symbole de quantité

représentant exclusivement 1 et 0,est dite développée quand elle est réduite à la forme ax+b(1-x)".

Soit donc l'égalité :f(x)= ax +b(1-x);Pour x= I,nous avons f(1)= a+b(0)=a. Pour x=0,f(0) = b. Dans l'égalité précédente,substituons leurs valeurs respectives à a et b.Nous avons:

f(x)=f(1)x+f(0)(1-x)."Quelle que soit la forme prise par la fonction,le second membre de l'égalité représente la fonction f(x),car x ,interprété comme un symbole quantitatif ,n'admet que

les valeurs 0 et 1,et pour chacune d'elles le développement  f(1)x+f(0)(1-x)  prend la même valeur que f(x). Cette suite d'opérations se nomme donc développement (to expand or develop)

d'une fonction avec un seul symbole,x.Prenons le cas de deux symboles x et y (Proposition II). Boole montre que quatre cas sont possibles.En effet,le développement de la fonction 1-x :

quand x=1 et y=1 ...donne 0;quand x=1 et y=0 ,donne 0;quand x=0 et y=1 ,donne 1;quand x=0 et y=0,donne 1.D'où ce développement est :1-x = 0xy+0x(1-y)+(1-x)y+(1-x)(1-y) ,et c'est

un vrai développement.L'addition des termes (1-x)y et (1-x)(1-y) donne la fonction 1-x.Si l'on développe le symbole I conformément à la règle relative à x,1 =x+1-x. D'où le développement

final : xy+x(1-y)+(1-x)y+(1-x)(1-y).[Afin de suivre correctement ces développements,on gardera  présente à l'esprit la définition du §9 donnée plus haut :"réduction à la forme ax+b(1-x)".]

Si ,une fois la vérité des formules admise,l'on pose enfin la question de l'interprétation du résultat,il convient de donner la parole à Boole :"chaque fois qu'un théorème [du calcul logique]

y est employé on doit comprendre que les symboles x,y, sont quantitatifs et de l'espèce particulière dont il a été question,si l'expansion obtenue n'est pas interprétable.

Mais bien que l'expansion ne soit pas toujours immédiatement interprétable,elle nous conduit toujours après à des résultats qui le sont.(...)on peu remarquer à ce propos que si les fonctions

ne deviennent pas nécessairement interprétables après développement,les équations ,toutefois,sont toujours réductibles par ce procédé (process)à une forme interprétable."An Investiga-

tion,Chap.V,Dover,p.78)

 

 

 

 

 

   

 

 

 

                             

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