BOOLE OU FREGE :UN DIALOGUE IMPOSSIBLE?

BOOLE OU FREGE :UN DIALOGUE IMPOSSIBLE ?

BOOLE OU FREGE : UN DIALOGUE IMPOSSIBLE ?

Au sens strict,c'est-à-dire chronologique,ce dialogue ne peut être que fictif.Pourtant,une fois leur rencontre sur l'application à la logique de la notion de fonction établie,pour Boole cette application a lieu dans le prolongement de la syllogistique,et plus largement de l'aristotélisme, avec pour objectif de

rendre effectif le mot d'ordre leibnizien "Au lieu de raisonner,calculez !",tandis que pour Frege,comme ce sera aussi le cas de Russell et de Wittgenstein,l'objectif essentiel est de jeter les bases d' une sémiologie générale ,et,plutôt que de fonder la logique sur l'algèbre ,de donner aux

mathématiques une formulation sans ambiguïté.N'oublions pas l'aphorisme du Tractatus : " Die Mathematik ist eine logische Methode"( 6.2) ,qui résume la position d'ensemble du logicisme.

Mais donnons plutôt la parole à Frege ,qui s'est exprimé sur sa parenté avec Boole et sur son propre but dans deux textes intitulés "Que la science justifie le recours à l'idéographie"(1882),et "Sur le but de l'idéographie"(1882-1883).

Exposons d'abord,son propre but. "J'ai tenté de compléter le langage par formules des mathématiques au moyen de signes conçus pour les rapports logiques,afin de constituer une idéographie (Begriffsschrift) destinée au premier chef au domaine mathématique comme il était souhaitable.Mais

l'utilisation de cette symbolique en d'autres domaines n'est pas exclue.Les rapports logiques sont partout,et les signes affectés aux contenus particuliers peuvent être choisis de telle sorte qu'ils s'insèrent dans le cadre de l'idéographie.Une présentation intuitive des formes de pensée a une signification qui

dépasse le domaine des mathématiques.Puissent les philosophes prêter quelque attention à cette entreprise" (Gottlob Frege,Ecrits logiques et philosophiques,tr.fr.par Claude Imbert,Le Seuil,1971,p.69).

Bref,il apparait que non seulement les objectifs de Frege et de Boole diffèrent mais qu'ils sont même à l'inverse l'un de l'autre:rendre la logique calculable par l'écriture algébrique, pour Boole;améliorer en priorité la rigueur de la mathématique par l'invention d'une écriture logique (conceptuelle),pour

Frege.Reste à préciser ce que Frege à trouvé chez Boole,et, cela,il s'efforce de l'indiquer dans l'étude intitulée "Sur le but de l'idéographie",tr.uClaude Imbert,Le Seuil,pp.70-78),dont la première partie constitue,en réponse au mathématicien Schröder,un bref compte-rendu critique de l'oeuvre booléenne.

Frege commence par se justifier de l'accusation d'avoir négligé les travaux de Boole. Il répond d'abord à ce reproche en soulignant la différence de leurs objectifs.Reprenant la formule leibnizienne déjà citée,il note :"En fait,je n'ai pas voulu créer seulement un calculus ratiocinator, mais une lingua

characteristica au sens de Leibniz, étant bien entendu que le calcul de la déduction est à mon sens partie obligée d'une idéographie."(o.c.p.71).Il est donc clair d'emblée que,d'après lui,l'application de l'outil algébrique à la logique -la calculablilité de celle-ci- constitue l'essentiel de la découverte de

Boole.C'est donc sur elle qu'il va faire porter le détail de ses observations critiques. Ce détail prend place dans le contexte d'une interprétation en extension des concepts ou d'une logique de classes (o.c.,Dover,p.71).Dans ce contexte,Frege note une lacune importante,l'absence de symboles

individuels,d'où découle,d'après lui,la confusion entre le concept ou la classe d'un individu et l'individu lui-même,confusion que la théorie ensembliste évitera par la distinction entre un singleton et son élément individuel.Autres critiques portant cette fois-ci sur la confusion inévitable entraînée par le

double emploi,arithmétique et logique,des opérateurs tels que somme et produit,mais aussi sur l'interprétation restreinte accordée à certains d'entre eux.Ainsi la somme logique limite la disjonction (ou) à son interprétation exclusive.Boole ne distingue pas non plus symboliquement deux cas totalement

différents tels que"la subsomption d'un individu sous un concept [et] la subordination d'un concept à une autre concept. Il souligne également que l'emploi logique des signes numériques 1 et 0 ,à savoir l'univers du discours et la classe vide,"diffère lui aussi de leur signification arithmétique."

(o.c.,p.72). Cette interprétation logique de la négation (rien) ne remplace pourtant pas son rôle traditionnel  (homme,non-homme),mais nous avons vu toutefois que cette fonction est assumée dans la logique booléenne par l'interprétation exclusive de la somme logique :(1 -b)=a;1-(a+b)=0.

 Le jugement global de Frege sur Boole est,somme toute,assez sévère et serait même surprenant,si nous n'étions pas accoutumés à la myopie inévitable d'un génie jugeant un de ses pairs."Si l'on prend une vue d'ensemble du langage formulaire de Boole,on voit qu'il consiste à habiller la logique abstraite

du vêtement des signes algébriques;il n'est pas propre à l'expression d'un contenu et tel n'est pas non plus son but.Or c'est là précisément mon intention.Je veux fondre les quelques signes que j'ai introduits avec les signes mathématiques en un seul formulaire.(...) Or,ajoute-t-il, "on ne peut

envisager la symbolique de Boole que dans un domaine totalement séparé de l'arithmétique."(o.c.,pp. 73-74)L'argument semblait en effet imparable avant que l'ensemble de la numération ne devienne formulable en langue exclusivement binaire,alors que l""écriture conceptuelle " frégéenne semble

techniquement difficile à modéliser.Dans ce procès imaginaire est-il possible de donner finalement la parole,non à un avocat de l'accusé,mais à l'accusé lui-même ? Boole ne manque pas en effet, au dernier chapitre de An Investigation of the laws of thought, de nous reconduire à la formulation de son

projet global concernant  la constitution de l'intellect et la nature de la science ( chap.XXII,Dover,pp.399 et sq.). "Parmi les conclusions concernant la constitution intellectuelle de l'homme et susceptibles d'appartenir au domaine de la science positive,nous pouvons compter les lois scientifiques de la

pensée et du raisonnement qui ont formé la base des méthodes générales de ce traité ainsi que les principes de leur application.La division du domaine de la pensée en deux domaines,distincts mais coexistants.(chap.IV.XI.) - La soumission des opérations intellectuelles dans ces deux domaines à un

système commun de lois.(XI) -Le caractère mathématique de ces lois et leur expression effective.- L'extension de leur affinité avec les lois de la pensée dans le domaine du nombre et leur point de divergence.-La relation de ces conceptions à la conception fondamentale de l'unité dans la science du

nombre.Que ces conclusions soient appelées ou non métaphysiques importe peu.La nature de l'évidence sur laquelle elles reposent ,bien que de nature différente,n'est pas de nature inférieure à celles qui soutiennent les verités générales de la science de la nature."(o.c.,pp.401-402).

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LE FORMEL COMME TRANSCENDANTAL

 

 

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