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ORDRE PARFAIT ET ORDRE HUMAIN SELON PASCAL

ORDRE PARFAIT ET ORDRE HUMAIN

I/ PASCAL CARTESIEN ?

"Descartes inutile et incertain."  Pensées,702 .

"Descartes.  

Il faut dire en gros :"Cela se fait par figure et mouvement",car cela est vrai.Mais dire quels,et composer la machine,cela est ridicule,car cela est inutile et incertain et pénible.Et quand cela serait vrai ,nous n'estimons pas que toute la philosophie vaille une heure de peine. "  Pensées, 77.

"Ecrire contre ceux qui approfondissent trop les sciences.Descartes." Pensées,476.

                                                                  

Comment accorder les rares jugements à l'emporte-pièce ,d'une tonalité uniformément négative,portés par Blaise Pascal dans les Pensées à l'encontre de son célèbre prédécesseur et ,par exemple,la magnifique page de l'Art de persuader dans laquelle il montre qu'en dépit des apparences le génie d'un auteur tient à tout autre chose qu'à la simple formulation déjà présente chez un autre.Or c'est précisément l'unité des multiples lectures pascaliennes que nous tentons de déchiffrer ici,non en invoquant la diversité de leurs circonstances, mais en attestant leur accord profond.

Descartes savant,Descartes philosophe.

Descartes philosophe : Dans le mot cogito ergo sum "apercevoir une suite admirable de conséquences ,qui prouve la distinction des natures matérielle et spirituelle, et en faire un principe ferme et soutenu d'une physique entière,comme Descartes a prétendu faire.° Suite merveilleuse de conséquences;

Descartes savant : Simple prétention du mécanisme : vrai "en gros" ,mais inutile,incertain et pénible dans le détail;une fois posé,le principe du mécanisme ne résout aucune difficulté  physique réelle (circulation du sang;existence du vide;) même en mathématique pure : infini en grandeur et en petitesse: espace,temps,mouvement;

Descartes et Pascal s'accordent sur la priorité de l'expérience,Ils s'opposent sur la philosophie (métaphysique) dont la validité est ,pour Descartes,égale ou supérieure à celle de la géométrie;

Descartes  et Pascal sur la "géométrie" - le terme français "mathématique "n'existe pas encore;géométrie aura donc  un double usage,spécifique ou générique.Le problème principal de Pascal rejoint celui des logiciens et des géomètres :qu'est-ce que démontrer ?*Pascal n'a pas rompu commeDescartes avec la logique scolastique (il contribue à la Logique de Port-Royal)

2 / PASCAL :DEFINIR ET DEMONTRER 

A) MANIERE ANALYTIQUE OU MANIERE SYNTHETIQUE ?

Dans sa Notice à De l'esprit géométrique ( Pascal,Oeuvres complètes,T.II,p.1177 sq.),Michel Le Guern ,après avoir observé que "pourtant,Pascal s'était fait aussi cartésien que cela lui était possible',écarte l'éventualité d'un accès de Pascal au manuscrit des Regulae cartésiennes au profit des Secondes Réponses."où Descartes,à la demande de Mersenne,,expose,"selon la méthode des géomètres"

les"Raisons qui prouvent l'existence de Dieu et la distinction qui est entre l'esprit et le corps humain,disposées d'une façon géométrique."(Pascal,O.c.,t.II,p1181).Si l'on s'accorde avec cette hypothèse,il devient clair que le traitement axiomatique pascalien ne diffère pas de la "manière de démontrer" par la synthèse,"pratiquée par les anciens géomètres" et qui se sert d'une longue suite de définitions,de

demandes,d'axiomes,de théorèmes et de problèmes,afin que si on lui nie quelques conséquences,elle fasse voir comment elles sont contenues dans les antécédents." (Descartes,Oeuvres,édition  Bridoux,Bibliothèque de la Pléiade,Gallimard,p.387-388).)

En résumé,si Descartes a résolument opté en philosophie pour l'analyse "qui montre la vraie voie par laquelle une chose a été méthodiquement inventée et fait voir comment les effets dépendent des causes",le propos de Pascal est tout autre puisque son propos,en ce sens nullement novateur,vise à éprouver les faiblesses et les limites logiques de la "manière synthétique". 

 

B)LES LIMITES INTERNES DE LA "MANIERE SYNTHETIQUE"

1° EUCLIDE  .La philosophie telle que la pratique Descartes procède de manière analytique,c'est-à-dire,si l'on se conforme à  la distinction des Secondes réponses,non-géométrique ou plus exactement métaphysique et métagéométrique.C'est cette manière qui,pour Pascal, "ne vaut pas une heure de peine".Celui-ci réduit en effet la fécondité et la rigueur scientifiques au double apport de l'expérience et de la démonstration

géométrique.Aussi s'attache-t-il à préciser la différence entre ce qu'on devrait idéalement et ce qu'on peut humainement en attendre.Comme on le sait ,au moins depuis Euclide,la manière synthétique  procède à deux niveaux,en définissant les termes et en prouvant les propositions.Qu'en est-il de manière géométrique (synthétique ou axiomatique) humaine ?Les Eléments d'Euclide comportent treize livres

d'importance inégale .En effet,si le premier livre expose 35 définitions,6 postulats,9 notions communes et démontre 48 propositions ,le dixième donne 11 définitions et démontre 117 propositions.On comprend que si les définitions du L.1 s'attachent aux objets les plus élémentaires de l'espace (point,ligne,surface,figure,cercle...),il s'agira,au livre dix de propriétés moins immédiates telles que grandeurs

commensurables, ou non,ou droites rationnelles ,ou non.Pour expliquer ce qu'entend Pascal par manière humaine de définir ou de démontrer ,il suffira de montrer que dès les définitions les plus élémentaires du premier livre il est fait appel aux notions non-définies de partie,longueur,largeur,extrémités etc...Quant aux propositions non-démontrées,elles sont d'un autre ordre :les postulats ou demandes ne réfèrent

pas à un objet mais à  une action à accomplir et à ses conséquences ou à des relations logiques ou arithmétiques évidentes par soi,telles que :" Les grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles"(notion commune 1);,ou " Le tout est plus grand que la partie."(notion commune 9).L'intérêt de la méthode euclidienne est double : rigueur et richesse de la démarche;en effet,non seulement de nouvelles

propriétés sont découvertes,mais elles sont aussi démontrées.Et,comme Pascal mais aussi Descartes l'acceptent,dans les limites de l'applicabilité de la géométrie aux propriétés naturelles  et aux observations astronomiques,on peut étendre la pensée géométrique -c'est-à-dire mathématique- à l'univers tout entier.

2° LES LIMITES DE LA METHODE GEOMETRIQUE

Qu'il s'agisse des  Réflexions suir la géométrie en général  (Pléiade,ed.Le Guern,p154 sq.) ou de L'art de persuader (Pléiade ,p.171 sq.) ,le propos de Pascal est le même, tout en quittant l'approfondissement proprement philosophique ou conceptuel des principes au profit d'une exposition

technique,détaillée et quasi- pédagogique consacrée à la méthodologie de l'axiomatique en général.En effet,partageant en cela la démarche cartésienne déjà étendue à la mathesis universalis ,il considère que,pour des raisons qu'il convient de préciser,le choix du cas particulier de la la géométrie se justifie

"parce qu'elle seule sait les véritables règles du raisonnement,et sans s'arrêter aux règles des syllogismes,qui sont tellement naturelles qu'on ne peut les ignorer , s'arrête et se fonde sur la véritable méthode de conduire le véritable raisonnement en toutes choses,que presque tout le monde ignore,et qu'il est

si avantageux de savoir,que nous voyons par expérience qu'entre esprits égaux et toutes choses pareilles,celui qui a de la géométrie l'emporte et en acquiert une vigueur toute nouvelle."(Pléiade,p.155) En d'autres termes,la géométrie présente le double avantage scientifique de proposer un univers

construit méthodiquement et rigoureusement à partir d'éléments accessible à tous,et de servir d'intermédiaire privilégié entre la pensée et l'expérience sensible,entre l'esprit et les corps ,qu'il s'agisse du ciel ou de la terre.

 

3°L'IDEE D'UNE METHODE ENCORE PLUS EMINENTE ET PLUS ACCOMPLIE

Ni Descartes,ni Pascal n'ont borné l'accès à la vérité à la méthode géométrique.Platon, leur grand devancier,a distingué,peut-être le premier, l'hypothétique de l'anhypothétique,le cheminement vers une conclusion (epi teleutèn) de la montée vers un principe (epi archèn)."Tu sais,rappelle Socrate à Glaucon,que

ceux qui s'occupent de géométrie,de calcul et d'autres choses du même genre font l'hypothèse du pair et de l'impair,des figures et des trois  espèces d'angles et qu'ils tiennent ces hypothèses comme des choses connues; quand ils ont confectionné ces hypothèses,ils estiment n'avoir à en rendre compte

d"aucune façon,ni à eux-mêmes,ni aux autres,tant elles paraissent évidentes à chacun; autres sont les connaissances que la raison elle-même saisit par la puissance dialectique (tè tou dialegesthai dunamei),,tenant ses hypothèses non pour des princips mais pour de simples hypothèses,qui sont comme desdegrés et des points d'appui pour s'élever juqu'au principe de tout."(République,511 b).

Si Pascal n'invoque pas Platon et ne prononce pas le nom de la dialectique,c'est pourtant elle qui pourrait être évoquée comme cette "méthode plus éminente et plus accomplie ,mais où les hommes ne sauraient jamais arriver" ,dont il est nécessaire de dire quelque chose,quoiqu'il soit impossible de

la pratiquer;"(De l'esprit géométrique,La Pléiade,Oeuvres complètes,T.II,p.155).Toutefois,ce n'est pas à la métaphysique,mais à la perfection idéale de la structure axiomatique du discours scientifique que Pascal  fait appel et qu'il oppose à la pratique des géomètres.Cet idéal se résume à deux

exigences : définir tous les termes du discours et en démontrer toutes les propositions, et donc éviter de confondre l'arbitraire des définitions,laissées au libres choix de qui les propose,avec la nécessité de prouver les propositions.Toutefois, la portée scientifique des définitions restreint le plus souvent la

portée de cet arbitraire, car à la base de l'édifice se retrouvent des concepts accessibles à la "lumière naturelle" tels que l'espace pour géométrie,le mouvement pour mécanique, et le nombre pour l'arithmétique.Ces catégories  génériques font elles-mêmes elles-mêmes appel à la compréhension de

'transconcepts',comme le temps ou les deux infinis.Pascal remarque d'ailleurs à leur propos que si " toutes ces vérités ne se peuvent démontrer,bien qu'elles soient les fondements et les principes de la géométrie,ce n'est pas à cause de leur obscurité, mais en raison de ler extrême évidence.".

Aussi la section II,intitulée De l'art de persuader,bien qu'elle fasse simultanément appel au coeur et à la raison,à la volupté et à la vérité, semble n'avoir d'autre choix méthodique possible qu'entre une psychologie des passions (persuader ou agréer) et un retour à la logique du discours (convaincre).

En fait,Pascal ,dépassant ce choix,va exposer la logique du coeur,ou l'art de persuader,"qui n'est proprement que la conduite des preuves méthodiques parfaites [et qui] consiste en trois parties essentielles: à définir les termes dont on doit se servir par des définitions claires;à proposer des principes ou

axiomes évidents pour prouver la chose dont il s'agit;et à substituer toujours mentalement dans la définition les définitions à la place des définis.."(Oeuvres complètes,2000,Gallimard,T.II,p.174).

 

4°RETOUR A L'UNITE D'UN ORDRE CONVAINCANT SUR LE MODELE GEOMETRIQUE -  RETOUR A DESCARTES  ?

L"art de persuader (c'est-à -dire sa version rationnelle) adopte le modèle géométrique sans devoir se limiter au champ d'application spatial et numérique.En effet,une telle méthode "ne rend pas nécessaire pour cela d'étudier les éléments de géométrie "(Pascal,Oeuvres complètes,t.II,Gallimard 2000,p.178).Elle

seule permet d'éviter les fautes de raisonnement dont étaient exemptés les seuls géomètres.C'est cette référence à la structure gobale de l'argumentation qui permet de juger de la valeur d'une pensée et de soutenir,par exemple ,que Descartes est le véritable auteur du Cogito "quand même il ne l'aurait appris

que dans la lecture de [saint Augustin].Accuser Descartes de plagiat, est être aveugle à "la suite admirable de conséquences qui prouve la distinction des natures matérielle et spirituelle (...) principe ferme et soutenu d'une physique entière.'.(idem, p.179).Non seulement la rigueur du discours ne s'oppose pas  

à sa fécondité,mais elle la conditionne.La lecture même des Pensées (Oeuvres complètes,t.II,n°466-467) invitera à moduler l'opposition de l'esprit de géométrie et de l'esprit de finesse,car "les esprits faux ne sont ni fins ni géomètres"(o.c.,p.744)

Les "règles de la méthode" longuement exposées par Pascal et explicites dans les Elements d'Euclide sont certes présentes implicitement dans les opérations communes de la vie quotidienne,mais" confondues parmi une multitude d'autres inutiles ou fausses dont [les non-géomètres] ne pouvaient pas

les discerner".mais le fait qu'elle soient "toutes naturelles et à notre portée et,et même connues de tout le monde" ne rendait que plus nécessaire une exposition systématique et complète,destinée à se substituer à la syllogistique traditionnelle que Pascal connaissait d'autant mieux qu'il avait contribué lui-même à la Logique de Port-Royal.

 

5°LA 'GEOMETRIE' N'EST PAS LE MODELE LE PLUS PARFAIT

Si l'on osait une rapide incursion comparative dans l'état des sciences logico-mathématiques depuis la seconde moitié du XIXe siècle,celui-ci serait-il favorable au rapprochement opéré par Pascal entre logique et géométrie en conclusion de l'Art de persuader, ou justifierait-il au contraire le "véritable ordre

absolument impossible qui consiste à tout définir et à tout prouver" ?Pourquoi impossible,sinon en raison de sa nécessaire circularité ? La réponse est devenue simple depuis la déclaration rédigée en 1900 et publiée en 1903 dans les Principles of  Mathematics par Bertrand Russell, professeur de

mathematiques à Cambridge : " 9. La mathématique pure ne doit contenir aucun autre indéfinissable que des constantes logiques,et par conséquent aucune autre prémisse ou proposition indémontrable que celles qui traitent exclusivement  des constantes logiques et des variables.C'est précisément cela qui

distingue la mathématique pure de la mathématique appliquée.(...)Par exemple, la géométrie euclidienne,en tant que branche de la mathématique pure,est tout entière constituée de propositions contenant l'hypothèse "S est un espace euclidien".Si de là nous passons à :"l'espace qui existe est un espace

euclidien",nous sommes alors en mesure d'affirmer les conséquentes de toutes de toutes les hypothétiques qui constituent la géométrie euclidienne,où maintenant la variable S est remplacée par la constante espace réel.Mais, en franchissant ce pas,nous passons de la mathémaatique pure à la

mathématique appliquée." (Bertrand Russell,Ecrits de logique philosophique,P.U.F,1989,p.28).Mais ne confondons pas non plus le calcul propositionnel avec son application par le système des Principia mathematica "dont le vocabulaire et l'appareil logique sont en mesure d'exprimer de façon adéquate l'arithmétique dans son

ensemble."(Ernest Nagel et James R.Newman,in Le théorème de Gödel,LeSeuil,1989,p.61).S'il est un ordre parfait mais inaccessible à l'être humain,il ne s'agit pas ,nous l'avons vu de l'ordre géométrique (mathématique), mais du système constitué par la logique propositionnelle,parfaitement circulaire,

puisqu'il peut être reconstiitué à partir d'un corps choisi d'axiomes.et que,comme le note Wittgenstein dans une formule lapidaire :" 5.473.Die Logik muss für sich selber sorgen."Le Tractatus donne une réponse à l'hypothèse paradoxale de Pascal : si cet ordre parfait est concevable,c'est parce que : "Alle Sätze

der Logik sagen aber dasselbe.Nämlich Nichts."(5.43).En effet,"tautologies et contradictions sont vides de sens (sinnlos)."La condition d'un système formel parfait est bien qu'il soit irréalisable.Mais qu'en est-il des mathématiques ?Une réponse est proposée ,non pour la géométrie,mais pour l'arithmétique.En

effet,se fondant sur de la démonstration de l'impossibilité de déduire l'axiome des parallèles à partir des autres axiomes," le mémoire de Gödel constitue précisément une démonstration de l'impossibilité de démontrer certaines propositions importantes en arithmétique."(Le théorème de Gödel,p.22).

Cette démarche,rendue possible par l'axiomatisation de la géométrie düe à David Hilbert en 1899 conduit à s'interroger sur deux propriétés des systèmes n propreformels ,leur consistance et leur complétude.Déjà ,à propos de son propre système ,Russell a été confronté à des paradoxes .Mais la formalisation

complète d'un système déductif par Hilbert exigeait un solution plus radicale que la théorie des classes de Russell.La première étape consiste à démontrer la consistance d'un système d'axiomes,c'est-à-dire son caractère non-contradictoire ,"en démontrant qu'il est impossible en utilisant les règles de

transformation  de déduire,à partir des axiomes une formule S et sa négation formelle non-S."(idem,p.55).Le caractère tautologique des propositions du calcul propositionnel entraînant la consistance de ce système,une autre question se pose :"ses axiomes sont-ils suffisants pour que l'on puisse engendrer

toute les tautologies ou toutes les propositions exprimables dans ce système ? Ces axiomes sont-ils complets ?"(oc.p.59).Si la réponse est affirmative dans le cas de la logique,qu'en est-il pour l'arithmétique ? L'unité obtenue finalement par Pascal au terme de l'Art de persuader est-elle confirmée par les

continuateurs de Hilbert ?La démarche entreprise par Gödel consiste à montrer que si l'arithmétique est un système consistant dans lequel une formuleS et sa négation non-S ne sont pas à la fois déductibles des axiomes cela entraine-t-il qu'elle est complète?La réponse obtenue par le dispositif godélien

en arithmétique élémentaire une formule qui n'est pas un théorème(c'est-à-dire qui n'est pas dérivable des axiomes)et par conséquent l'arithmétique n'est pas complète.Telle est donc la différence entre les axiomes du calcul propositionnel et ceux de l'arithmétique élémentaire.

CONCLUSION

Ce résultat ne peut que laisser perplexe un lecteur de Wittgenstein confronté aux thèses suivantes : "6.2  Die mathematische ist eine logische Methode.6.22
Die Logik der Welt,die die Sätze der Logik in den Tautologien zeigen,zeigt die Mathematik in den Gleichungen."?

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